He construido una visión simplista de Excel modelo de monte carlo para el precio de un bono cupón cero, pero se vino para arriba con un poco unepxected resultado así que quería confirmar si mis matemáticas es sólo un poco oxidado o mi modelo es incorrecto.
Supongamos que tenemos un 40 años de ZCB con un precio de $P_t$ que equivale a un plano tasa de descuento de $z_t$ en vez de $t$; es decir, el precio $P_t = \exp(-(40 - t) \cdot z_t)$, y digamos $z_0 = 2\%$ en este caso . (Esta es, obviamente, diferente de la habitual bono cupón cero vs tasa de fórmula de fijación de precios, $P_t = \mathbb{E}[\exp(-\int_t r_t)]$, en lo que se refiere a un solo "media" de la tasa sobre el resto de la vida del bono)
El monte carlo comienza con esta propagación $z_0$, que evoluciona de forma aleatoria después de cada período, sin deriva, según $z_{t+\Delta t} = z_t + (\sigma \cdot \sqrt{\Delta t} \cdot \omega)$ donde $\sigma$ es un vol parámetro y $\omega \sim \text{N}(0,1)$.
En el año 30, miro el simulado valor de $z_{30}$, y luego deducir el precio de los bonos como $P_{30} = \exp (-(40 - 30) \cdot z_{30})$.
Al tener esta simulación para un número de Monte Carlo se ejecuta, me tomó el promedio de propagación $z_t$ a $t = 30$, que fue como era de esperar, equivalente a $2\% = z_0$, y el precio promedio $P_{30}$ a través de todas estas pistas.
Yo estaba esperando que este precio promedio sería de aproximadamente $\exp (-(40 - 30) \cdot z_{0}) = \exp(-10 \cdot 2\%)) = \exp (-(40 - 30) \cdot \mathbb{E}(z_{30}))$, pero en realidad el valor fue sistemáticamente superior .
Hasta cierto punto puedo justificar esto a mí mismo; el precio de los bonos es convexa, por lo que en términos absolutos se verá más absoluta ganancias positivas que negativas pérdidas cuando la propagación se mueve más estrecha o más amplia, por el mismo $\%$ cantidad (suponiendo que el avg diferencia es todavía centrada alrededor de $z_0 = 2\%$).
Pero, por otro lado, esto significa que su esperado del precio del bono en el monte carlo es una función de la volatilidad: $\sigma = 0$ da $z_{30} = z_0$ en todos los casos y, por tanto, un menor precio esperado que para algunos $\sigma > 0 $. No me intuitivamente esperamos que la espera del precio del bono a lo largo del tiempo depende de vol incluso con el corrimiento del cero; no es una opción de tipo de rentabilidad después de todo, y nunca he visto anteriormente los precios de los bonos se contempla como una función de vol. Debates como este me hacen pensar que el $+\sigma^2/2$ lognormal expectativa efecto, el sesgo de las ganancias por las pérdidas, debe ser compensado por $-\sigma^2/2$ plazo en la espera que el movimiento Browniano camino (aunque es cierto que esto es un poco de seguridad diferente de aquel en el que link), pero mi modelo parece sugerir lo contrario.
Lo que me estoy perdiendo aquí? Es mi modelo equivocado, estoy tratando de reconciliar 2 fundamentalmente diferentes cantidades o debe la espera del precio del bono con un valor distinto de cero vol realmente ser más alto que el precio de los bonos con descuento en la espera de propagación?
