Soy un matemático que está tratando de aprender algo de economía con el libro Asset Pricing de Cochrane.
No tengo ninguna formación en economía.
En el capítulo 1, deduce la ecuación básica de precios $$ p_t = \mathbb{E}_t \left[ \beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} x_{t+1}\right] $$ de la siguiente manera:
Considere el problema de $$\max_{\xi} u(c_t) + \mathbb{E}_t \left[ \beta u (c_{t+1}) \right]$$ donde $$c_t = e_t - p_t \xi, \qquad c_{t+1} = e_{t+1} + x_{t+1}\xi$$ .
La ecuación de precios es la condición de primer orden de este problema de optimización.
En palabras, estás tratando de maximizar tu utilidad comprando algún número $\xi$ de un activo con un pago futuro aleatorio $x_{t+1}$ que se vende por $p_t$ hoy. $e_t$ y $e_{t+1}$ son sus niveles de consumo originales.
Me resulta extraño que aunque la ecuación sea una fórmula para $p_t$ ambos lados de la ecuación de precios dependen de $p_t$ . Es decir, el denominador $u'(c_t) = u'(e_t-p_t \xi) $ es en realidad una función 1 a 1 de $p_t$ . Así que siento que la fórmula me dice cómo encontrar $p_t$ , dado que ya saben lo que $p_t$ es.
La primera aplicación que presenta Cochrane es la tasa libre de riesgo. Aquí $x_{t+1} = R^f$ se conoce en el momento $t$ y $p_t = 1$ . Por lo tanto,
$$R^f = 1/\mathbb{E}_t \left[ \beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)}\right] $$
Pero $c_{t+1} = e_{t+1}+R^f \xi$ para que no haya aleatoriedad dentro de la expectativa. ¿Cómo podemos pasar a suponer entonces que el crecimiento del consumo $c_{t+1}/c_t$ se distribuye de forma lognormal, cuando parece ser una constante?
En la siguiente aplicación, el factor de descuento $m = \beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)}$ se considera igual en los distintos activos. Pero $c_t$ y $c_{t+1}$ son mis niveles óptimos de consumo para un determinado bien, por lo que esperaría $m$ para variar entre los activos.
Así que mi pregunta es, ¿es posible conciliar la derivación de la ecuación de precios con la forma en que se aplica en los ejemplos?
