Derivación y uso de la ecuación de precios

Question

Soy un matemático que está tratando de aprender algo de economía con el libro Asset Pricing de Cochrane.

No tengo ninguna formación en economía.

En el capítulo 1, deduce la ecuación básica de precios $$p_t = \mathbb{E}_t \left[ \beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} x_{t+1}\right]$$ de la siguiente manera:

Considere el problema de $$\max_{\xi} u(c_t) + \mathbb{E}_t \left[ \beta u (c_{t+1}) \right]$$ donde $$c_t = e_t - p_t \xi, \qquad c_{t+1} = e_{t+1} + x_{t+1}\xi$$ .

La ecuación de precios es la condición de primer orden de este problema de optimización.

En palabras, estás tratando de maximizar tu utilidad comprando algún número $\xi$ de un activo con un pago futuro aleatorio $x_{t+1}$ que se vende por $p_t$ hoy. $e_t$ y $e_{t+1}$ son sus niveles de consumo originales.

Me resulta extraño que aunque la ecuación sea una fórmula para $p_t$ ambos lados de la ecuación de precios dependen de $p_t$ . Es decir, el denominador $u'(c_t) = u'(e_t-p_t \xi)$ es en realidad una función 1 a 1 de $p_t$ . Así que siento que la fórmula me dice cómo encontrar $p_t$ , dado que ya saben lo que $p_t$ es.

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La primera aplicación que presenta Cochrane es la tasa libre de riesgo. Aquí $x_{t+1} = R^f$ se conoce en el momento $t$ y $p_t = 1$ . Por lo tanto,

$$R^f = 1/\mathbb{E}_t \left[ \beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)}\right]$$

Pero $c_{t+1} = e_{t+1}+R^f \xi$ para que no haya aleatoriedad dentro de la expectativa. ¿Cómo podemos pasar a suponer entonces que el crecimiento del consumo $c_{t+1}/c_t$ se distribuye de forma lognormal, cuando parece ser una constante?

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En la siguiente aplicación, el factor de descuento $m = \beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)}$ se considera igual en los distintos activos. Pero $c_t$ y $c_{t+1}$ son mis niveles óptimos de consumo para un determinado bien, por lo que esperaría $m$ para variar entre los activos.

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Así que mi pregunta es, ¿es posible conciliar la derivación de la ecuación de precios con la forma en que se aplica en los ejemplos?

Answer 1

En cuanto a la primera pregunta El " $p_t=...$ La expresión "es conceptual y cualitativamente útil porque, en el óptimo, relaciona el precio con el consumo y las expectativas. Matemáticamente es una función implícita, por supuesto, así que no es una "solución de forma cerrada" que "nos diga cómo encontrar $p_t$ ".

Cochrane lo reconoce al escribir en la p. 6

"Nos hemos detenido en una solución completa del modelo, es decir, una expresión con elementos exógenos en el lado derecho. Relacionamos una variable endógena, el precio, con otras dos variables endógenas, el consumo y los pagos. Se puede seguir resolviendo este modelo y la elección del consumo óptimo $c_t , c_{t+1}$ en términos de los fundamentales del modelo. En el modelo que he esbozado hasta ahora, esos datos son la secuencia de ingresos $e_t , e_{t+1}$ y una especificación de el conjunto de activos que el inversor puede comprar y vender. De hecho, más adelante estudiaremos estudiaremos esas soluciones más completas más adelante. Sin embargo, para muchos propósitos se puede dejar de especificar (posiblemente de forma errónea) toda esta estructura adicional, y obtener predicciones muy útiles sobre los precios de los activos de (1.2), aunque el consumo sea una variable endógena. "

En cuanto al primer ejemplo la secuencia de "consumo sin inversión" $\{e_t\}$ se considera en general aleatoria, debido a factores no modelados a este nivel introductorio, como un flujo de ingresos que se ve afectado por choques aleatorios exógenos, etc., por lo que el uso del valor esperado se relaciona con la existencia de $e_{t+1}$ ahí dentro.

En cuanto al segundo ejemplo Cochrane escribe en la página 7 (énfasis mío)

"En este contexto, la ecuación (1.4) es obviamente una generalización, y dice algo profundo: se pueden incorporar todas las correcciones de riesgo definiendo definiendo un único factor de descuento estocástico -el mismo para cada activo-y poniéndolo dentro de la expectativa. $m_{t+1}$ es estocástico o aleatorio porque no se conoce con certeza en el momento $t$ . El correlación entre los componentes aleatorios del factor de descuento común común $m$ y la retribución específica del activo $x_i$ generar correcciones de riesgo correcciones de riesgo".