Los diferenciales de los CDS y el Par diferencial de Rendimiento de los Bonos

Question

Se afirma que el credit default swap (CDS) propagación debe aproximarse a la arriesgado par rendimiento del bono o cupón de la tasa de propagación de los libres de riesgo de los bonos en la misma entidad. Esto viene cuando asumimos factor de descuento $B(t)=e^{-rt}$, con una constante libres de riesgo de tasa de interés $r$ junto con infinitesimal cupón período. Sin embargo, esto no es cierto en general, y es dudoso ¿bajo qué condiciones esto es ni siquiera aproximadamente.

Vamos a examinar esta reclamación matemáticamente. En general, para el par de bonos de tasa de cupón $c$ y los diferenciales de los CDS $s$ $$c-s=\frac{\int_0^T P(t)\mathrm d(-B(t))}{\sum_{i=1}^n \delta_iB_iP_i} \ge 0,$$ donde $P(t)$ es la probabilidad de supervivencia y $B(t)$ el factor de descuento en el tiempo $t$, $t_i$ es el $i$'th cupón fecha y $P_i=P(t_i)$ y $B_i=B(t_i)$. Es cierto $B(t)\searrow 0 \Longrightarrow c-s\searrow 0$, para un $P$. Sin embargo, una vez que puede el dispositivo de la disminución de $P$ y $B$ tales que $c-s$ es ilimitado desde arriba en el conjunto de los admisible $P$ y $B$ (disminución de la función positiva en $[0,\infty)$ tomando el valor de 1 $de$ a $t=0$) para cualquier $\{\delta_i>0\}_{i=1}^n$. Considero muy pequeño $P_i$.

Los libres de riesgo par de bonos de tasa de cupón de la misma cupón horario es $$c_0=\frac{\int_0^T \mathrm d(-B(t))}{\sum_{i=1}^n \delta_iB_i}.$$ Así $$c-s-c_0=\frac{\int_0^T P(t)\mathrm d(-B(t))}{\sum_{i=1}^n \delta_iB_iP_i}-\frac{\int_0^T \mathrm d(-B(t))}{\sum_{i=1}^n \delta_iB_i}$$ Ya sabemos que el párrafo anterior que la expresión anterior es ilimitado desde arriba. Para explorar la gama de la expresión anterior, considere el siguiente caso. $$P(t) = \begin{casos} 1, y t=0 \\ P_1, & t\en (0,t_1] \\ 0, & t\en (0,\infty) \end{casos}, \quad B(t) = \begin{casos} 1, y t=0 \\ B_1, & t\en (0,t_1] \\ 0, & t\en (0,\infty) \end{casos}.$$ entonces $$c-s-c_0 = \frac{1}{\delta_1B_1}-1-\frac{1}{\delta_1B_1}=-1.$$ Por lo que $c-s-c_0$ rangos de menos de $-1$ a infinito positivo.

Por lo tanto, todo lo que podemos decir es que en el tipo de interés muy bajo régimen, como recientemente, $c$ no es mucho más de $s$. Entonces, ¿qué condiciones adicionales impuestas o los modelos específicos que se supone que para justificar el folclore declaración de que $c-s\aprox c_0$? Alguien puede proporcionar un matemático de la derivación o el suministro de algunas referencias a ese efecto? Muchos autores han citado Darrell Duffie del papel como el origen de la reclamación. Sin embargo, no veo un matemático de la derivación o de la justificación --- el enlace antes mencionado es un borrador no publicado y tal vez ahí está el quid.

Uno de los papeles que lo declaran es este. Hay Hipótesis 4. es la más pertinente, reconociendo el supuesto de tasa de interés constante, presumiblemente, lo que implica $B(t)=e^{-rt}$ con $r$ una constante positiva, tal como he indicado en el primer párrafo. Cómo una buena aproximación es esto? Este y este son otros dos artículos entre los muchos que hacen el reclamo. Ninguno de estos authours son de "dudosa" a la gente.

¿Alguien puede aclarar?

Answer 1

En muchos años de trabajo en los mercados de crédito, nunca he encontrado a nadie hacer una aproximación de los diferenciales de los CDS a igualdad de riesgo rendimiento de los bonos par.

Si nos aproximado de CD de pagos de cupón como un flujo continuo $s$, por defecto de intensidad como una constante $h$, y asumimos que los factores de descuento provienen de un constante tasa libre de riesgo $r$, entonces la valoración de los CDS se convierte en la fórmula $$\begin{align} S&=\int_0^T (1-\delta)e^{-(r+h)t} h dt - \int_0^T s e^{-(r+h)t} dt \\ &= \frac{ \left( 1-e^{-(r+h)T} \right)}{r+h} \left(h(1-\delta)-s \ \ derecho) \end{align}$$ y el valor de riesgo de los bonos el pago de los cupones a tasa continua $c$ es $$\begin{align} V&=e^{-(r+h)T} + \int_0^T c e^{-(r+h)t} dt + \int_0^T \delta e^{-(r+h)t} h dt \\ &=e^{-(r+h)T}+\frac{c}{r+h}\left(1-e^{-(r+h)T}\derecho) +\frac{h\delta}{r+h}\left(1-e^{-(r+h)T}\derecho). \end{align}$$

Si tomamos el de la vieja escuela aproximación que $\delta=0$, $s=h$, y también

$$c=r+h$$

a continuación, estas fórmulas para simplificar $$S = \left(h -s \ \ derecho) \frac{ \left( 1-e^{-(r+h)T} \right)}{r+h} = 0$$ y $$V=1.$$

Por lo tanto, el de la vieja escuela aproximaciones a la gente a aplicar son:

• La feria de CDS cupón de $s$ es el diferencial de crédito de $h$ (no el riesgo del rendimiento de los bonos par $r+h$), y
• El bono se cotiza a la par cuando el rendimiento $y$ es la tasa libre de riesgo más el diferencial de crédito, y esto sucede cuando los cupones $c=y=r+h$

Tenga en cuenta que los profesionales en mercados de CDS rara vez el uso de estos $\delta=0$ aproximaciones, pero incluso en 2014 que todavía no se ejecutará en algunas arriesgado mercado de bonos de las personas que los utilizan.

La tasa de interés constante suposición es comúnmente utilizado por todo tipo de participantes, ya que incluso cuando las tasas de interés no es constante, se le da la respuesta correcta para DV01 y DC01 sensibilidades, a la primera orden. Bibliotecas de Software (como este) manejar los cálculos cuando toda la precisión que se desea.

Answer 2

Tengo la respuesta, gracias de nada menos que a la Prof. Darrel Duffie, quien señala que el reclamo es para flotación de la tasa de cupón en lugar de uno fijo.

Aquí es el de la formulación. El cupón de una tasa flotante bono es la tasa LIBOR pagado más un margen. Vamos a $B_i^j$ ser el factor de descuento entre el tiempo de la $t_i$ y $t_j$. La tasa LIBOR entre cupón fecha $i-$ 1 y $i$ es $l_i = \frac{1}{\delta_i}\big(\frac{1}{B_{i-1}^i}-1\big)$. Suponga que la tasa de interés de corto proceso $r$ es independiente de la entidad de referencia de tiempo predeterminado $\tau$. Usando todos el mismo notaciones como en la pregunta, a la par que arriesgado de bonos de tasa flotante satisface $$\begin{align} 1 &= \mathbb E\Big[ \sum_i\delta_i (l_i+c)e^{-\int_0^{t_i}r }\mathbf 1_{\tau>t_i} \Big]+B(T)P(T)+R\int_0^T B(t)\mathrm d(-P(t)) \\ &= \sum_i (B_{i-1}-B_i+c\delta_iB_i)P_i+B(T)P(T)+R\int_0^T B(t)\mathrm d(-P(t)) \\ &= c\sum_i \delta_iB_iP_i+\sum_i (B_{i-1}-B_i)P_i+1-\int_0^T P(t)\mathrm d(-B(t))-L\int_0^T B(t)\mathrm d(-P(t)), \end{align}$$ donde la última igualdad se deriva de la integración por partes, y $R$ es la tasa de recuperación y $L$ la tasa de pérdida de la entidad de referencia, y, por supuesto, $R+L=1$. El CD de la tasa es aún $$s = \frac{L\int_0^T B(t)\mathrm d(-P(t))}{\sum_i \delta_iB_iP_i}.$$ Por lo tanto $$c-s = \frac{\int_0^T P(t)\mathrm d(-B(t))-\sum_i (B_{i-1}-B_i)P_i}{\sum_i \delta_iB_iP_i}.$$ El numerador es sólo el correspondiente Riemann-Stieltjes integral en la pregunta menos su aproximación de la suma. Desde $P$ aumenta con respecto a $B$, $$0\le \int_0^T P(t)\mathrm d(-B(t))-\sum_i (B_{i-1}-B_i)P_i \le \sum_i (B_{i-1}-B_i)(P_{i-1}-P_i).$$ Por lo tanto $\max\limits_i(B_{i-1}-B_i)\searrow 0 \bigwedge \max\limits_i(P_{i-1}-P_i)\searrow 0 \Longrightarrow c-s\searrow 0$.

En general, por $a_i\ge 0$ y $b_i\ge 0,\ \forall i$, tenemos $$\begin{align} \Big( \sum_i a_ib_i\Big)^2 &= \Big(\sum_i (a_ib_i)^\frac{1}{2}a_i^\frac{1}{2}b_i^\frac{1}{2}\Big)^2 \\ &\le \sup\limits_i (a_ib_i)\Big(\sum_i a_i^\frac{1}{2}b_i^\frac{1}{2}\Big)^2 \\ &\le \sup\limits_i (a_ib_i)\sum_i a_i\sum_ib_i. \end{align}$$ Por lo tanto, tenemos más fuerte el resultado de una disminución en la premisa de $\max\limits_i(B_{i-1}-B_i)(P_{i-1}-P_i)\searrow 0 \Longrightarrow c-s\searrow 0$.

La diferencia de $c-s$ podría ser grande cuando cualquiera de densidad por defecto es grande en un periodo de tiempo o la tasa de interés cambia dramáticamente.