Mundo real monte-carlo (medida P)

Question

Considere los dos enfoques siguientes para fijar el precio de un valor:

Monte-carlo ( $\mathbb{Q}$ -medida)

$\begin{equation} C = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{n} e^{-rT} max(S_i(t) - K, 0) \end{equation}$

Monte-carlo ( $\mathbb{P}$ -medida)

$\begin{equation} C = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{n} D_i max(S_{i}(t) - K, 0) \end{equation}$

donde $D_i = \left(\frac{q_i}{p_i}\right) \frac{1}{(1+r)^t}$ es el factor de descuento estocástico / deflactor / núcleo de precios en el escenario $i$ .

Además, asumo que

\begin {align} ln(S_t/S_0) & \sim N(r - 0,5 \sigma ^2, \sigma\sqrt {T}) \mbox { bajo el $\mathbb{Q}$ medida} \\ ln(S_t / S_0) & \sim N( \alpha - 0.5 \sigma ^2, \sigma\sqrt {T}) \mbox { bajo el $\mathbb{P}$ medida} \end {align} Me pregunto cómo calcular $q_i$ y $p_i$ . Entonces me gustaría comparar $C$ bajo los modelos Black-Scholes, Monte-carlo $\mathbb{Q}$ medida y Monte-carlo $\mathbb{P}$ medida.

Espero que $C_{BS}(S=100, \ K=100, \ \sigma=0.25, \ r=0.03,\ T=1) = 11.35$ está cerca de $C_{MC, \mathbb{Q}} \ (N=10,000)$ y $C_{MC, \mathbb{P}} \ (N=10,000)$ .

Utilizo la técnica estándar de Monte-Carlo, es decir, simulo valores de $S(1)$ tomando una muestra aleatoria de una distribución normal y convirtiéndola en la distribución lognormal apropiada.

Answer 1

En esencia, la cuestión es el muestreo de importancia $$\int f(S_T) \psi_{r}(S_T) dS_T = \int f(S_T) \psi_{\alpha}(S_T) \frac{\psi_r}{\psi_\alpha}(S_T) dS_T$$ Aquí $\psi_{\mu}$ denota la densidad log-normal con deriva $\mu.$ Así que cuando se simula con la deriva $\alpha$ cada muestra utilizada es $$f(S_T) \frac{\psi_r}{\psi_\alpha}(S_T)$$ en lugar de $f(S_T).$

También se puede hacer un cambio de variable y escribir la integral en términos de $\log S_T$ para obtener expresiones más simples para las densidades.

Answer 2

EDITAR

Creo que lo he descubierto.

En el marco de la $\mathbb{Q}$ medida,

$\begin{equation} S_t \sim LN(ln(S_0) + r - 0.5\sigma^2, \ \sigma\sqrt{t}) \end{equation}$

En el marco de la $\mathbb{P}$ medir

$\begin{equation} S_t \sim LN(ln(S_0) + \alpha - 0.5\sigma^2, \ \sigma\sqrt{t}) \end{equation}$

Supongamos que simulamos los siguientes precios de las acciones

Si = 96.33, 69.04, 115.19

Las probabilidades correspondientes de observar estos precios bajo la $\mathbb{Q}$ medida son

qi = 0.0164, 0.00777, 0.0118

Las probabilidades correspondientes de observar estos precios bajo la $\mathbb{P}$ medida son

pi = 0.01615, 0.006879, 0.01228

Los factores de descuento estocástico son $\left( \frac{q_i}{p_i} \right) e^{-r}$

 Di = 0.9848683 1.0956499 0.9301017

A continuación, podemos calcular el precio Monte-carlo de la opción bajo el $\mathbb{P}$ medida utilizando

$\begin{equation} \dfrac{1}{3} \sum_{i=1}^{3} max(0, S_i - K) D_i \end{equation}$