He aquí dos ejemplos de cómo la diversificación reduce la desviación típica.
Diversificación en una cartera de 2 activos.
Tenemos que la varianza de una cartera de 2 activos viene dada por
$$ \sigma_p^2 = \omega_a^2 Var[r_a]+(1-\omega_a)^2 Var[r_b]+2\omega(1-\omega)Std[r_a]Std[r_b]\rho_{ab}$$
Donde $\omega_a$ es el peso en el activo $a$ , $Var[r_a],Var[r_b]$ son las desviaciones de los activos, $Std[r_a], Std[r_b]$ son las desviaciones típicas de los activos, y $\rho_{ab}$ es la correlación entre ellos.
Si los dos activos fueran iguales, por ejemplo, la misma acción, la correlación sería perfecta, es decir $\rho_{ab}=1$ y la varianza de la cartera sería simplemente
$$ \sigma_p^2 = \omega_a^2 Var[r_a]+(1-\omega_a)^2 Var[r_b]+2\omega(1-\omega)Std[r_a]Std[r_b]$$
La correlación entre cualquier activo está siempre entre 1 y -1, por lo que para dos activos cualesquiera
$$ \sigma_p^2 \leq \omega_a^2 Var[r_a]+(1-\omega_a)^2 Var[r_b]+2\omega(1-\omega)Std[r_a]Std[r_b]$$
Lo que significa que la varianza de la cartera de dos activos siempre será menor o igual a la contribución de la varianza ponderada de cada activo individual.
Cartera de pesos iguales.
Para una cartera de $N$ activos correlacionados e igualmente ponderados ( $ w_i = \frac{1}{N}$ ) tenemos que $$ \sigma_p^2 = \frac{1}{N^2} \sum\limits_{i=1}^N Var[r_i] + \frac{1}{N^2} \sum\limits_{i=1}^N \sum\limits_{j\neq i,\,j=1}^N Cov[r_i,r_j] $$
Los valores medios de estos activos individuales son
$$ \bar{Var} = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N Var[r_i]$$ $$ \bar{Cov} = \frac{1}{N(N-1)} \sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j\neq i,j=1}^N Cov[r_i,r_j]$$
De lo que se deduce que $$ \sigma_p^2 = \frac{1}{N^2} N \bar{Var} + \frac{1}{N^2}N(N-1)\bar{Cov} = \underbrace{\frac{1}{N} \bar{Var}}_{\rightarrow 0}+\underbrace{(1-\frac{1}{N})\bar{Cov}}_{\rightarrow \bar{Cov}}$$
De ello podemos concluir que cuando el número de activos $N$ va a infinito, la varianza de la cartera va a $\bar{Cov}$ . Así que, básicamente, la diversificación es la eliminación de la desviación estándar (riesgo) específica de los activos (idiosincrásica) de la inversión en múltiples activos.
Todo lo anterior se basa en Mercados financieros e inversiones de Claus Munk (2018, capítulo 4.3). No sé si está disponible en línea, pero si no es así también puedo recomendar Inversiones de Bodie, Kane y Marcus (2014).
