Black-Scholes de la PDE: ¿cuál es la forma de las condiciones de frontera

Question

Yo estoy trabajando en el Black-Scholes ecuación, pero soy bastante nuevo en modelos financieros. Ahora, estoy tratando de entender el Black-Scholes de la PDE. Entiendo que el Black-Scholes ecuación está dada por \begin{ecuación*} \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + rS \frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0 \end{ecuación*} con condición inicial \begin{ecuación*} C(S,T) = \max (S-K, 0) \end{ecuación*} y las condiciones de contorno \begin{ecuación*} C(0,t) = 0 \hspace{35pt} C(S,t) \rightarrow S \text{ como } S \rightarrow \infty \end{ecuación*} e $C(S,t)$ es definido más de $0 < S < \infty$, $0 \leq t \leq T$.

La transformada de la ecuación es \begin{ecuación*} \frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + (k-1)\frac{\partial u}{\partial x} - ku \end{ecuación*}

El siguiente código de matlab implementa esto. Mi pregunta es, ¿qué es exactamente la forma de las condiciones de contorno para la ecuación transformada? Me parece que no puede entender los parámetros (relacionadas con las condiciones de frontera) dado que en el código de Matlab. Cualquier relacionadas con la literatura sería muy apreciada.

Y como una pregunta adicional, por el siguiente gráfico

,

obtener la mayor rentabilidad cuando usted espera hasta t = 4 y S = $e^{0.5}$. Es este entendimiento correcto? Además, en la gráfica de arriba, ¿cuál es la implicación? Ya que la rentabilidad es mayor cuando el tiempo para ir, $t$ es el máximo, ¿esto significa que debe ejercer la opción antes de tiempo?

Answer 1

La forma de las condiciones de frontera proviene de la transformación. Si mi transformación mapas $t \a\tau$, $S \x$, a continuación, las condiciones de frontera se asignan por $\tau \t$ y $x \a S$. Así que si $x=log(S)$, entonces mi condición terminal será de $(e^x-K)^+$

Answer 2

Usted parece estar muy en ecuaciones en derivadas parciales y menos en finanzas. Una opción call da en un tiempo futuro $T$ la rentabilidad $$ max(S_T-K,0), $$ por lo tanto, si $S_T$ es mayor que $K$, entonces esto es lo que usted consigue, más nada. El PDE, que le dice cómo los cambios de valor con respecto a los cambios en $S$ y $t$.

La teoría nos dice que el precio de esta opción es hoy (en $t=0$), se da como el descuento esperado pay-off.

Resolver el PDE en una malla. De ahí el valor debe ser mayor, cuando $S$ es el más grande. En realidad (y en teoría en toda la recta real) el valor es ilimitado.

EDITAR: Observe que la ecuación anterior es el valor terminal. Este es triavial, la tarea es calcular el precio de esta opción en vez de $t$, $0 < t < T$. Además matemática acuerdos de financiación con la cobertura de una posición.

No estoy mucho en ecuaciones en derivadas parciales, pero a la que el estado es el PDE de la Europena estilo de la llamada derecha? En este caso sólo se puede ejercer la opción en $T$. Los llamados de tipo Americano opciones usted puede ejercer, en cualquier punto en el tiempo $u, 0 < u \le T$. Si la acción no es el pago de dividens, a continuación, usted nunca ejercicio temprano como el precio de la celebración de la opción es siempre más grande(ver aquí). En este caso, el precio de la American opción de estilo es el mismo que de la Europea. Leer acerca de estos dos estilos de primera. La referencia básica es John Hull: OPCIONES, FUTUROS Y OTROS DERIVADOS. Encontrar diapositivas en la web.