Calcular el precio de un derivado

Question

Consideremos la función de pago \begin{align*} f(x)=\begin{cases} 3 & \text{if }x\leq 30, \\ 33-x & \text{if }30<x<35, \\ -2 & \text{if } x\geq35. \end{cases} \end{align*}

¿Cómo puedo encontrar el precio actual de un derivado europeo pagando? $f(S_T)$ en términos de opciones europeas de compra y venta? No estoy seguro de cómo incluir las funciones de pago de las opciones de compra y de venta.

Answer 1

Si se representa gráficamente la función $f$ ves que tienes un spread de oso. Puede construir este tipo de spreads verticales con opciones de compra o de venta. Por ejemplo, considere una cartera que vende una opción de venta con precio de ejercicio $K_1=30$ y comprando una opción de venta de tipo europeo con precio de ejercicio $K_2=35$ . Entonces, se obtiene el resultado \begin{align*} \max\{35-S_T,0\}-\max\{30-S_T,0\} &=\begin{cases} 5 & \text{if }S_T\leq 30, \\ 35-S_T & \text{if }30<S_T<35, \\ 0 & \text{if } S_T\geq35, \end{cases} \\ &= f(S_T)+2. \Fin. Así, puede replicar $f(S_T)$ si vende dos bonos cupón cero (que pagan $1$ al vencimiento) e invertir en la cartera descrita anteriormente. Entonces, por el principio de no arbitraje, el tiempo $t$ precio de la retribución $f(S_T)$ viene dada por $$V(t,S_t)=P(S_t,35,T)-P(S_t,30,T)-2e^{-r(T-t)}.$$

Utilizando la paridad put-call sin modelo $P(S_t,K,T)=Ke^{-r(T-t)}-S_te^{-q(T-t)}+C(S_t,K,T)$ puede construir de forma equivalente una cartera de opciones de compra de tipo europeo.

Answer 2

Sería mucho más fácil empezar escribiendo el resultado utilizando funciones indicadoras. Por ejemplo, \begin{align*} f(S_T) &= 3 \mathbb{I}_{S_T \le 30} + (33-S_T) \mathbb{I}_{30<S_T < 35} -2 \mathbb{I}_{S_T \ge 35}\\ &=3\big(1-\mathbb{I}_{S_T > 30}\big) + (33-S_T) \big(\mathbb{I}_{S_T > 30} - \mathbb{I}_{S_T \ge 35}\big) -2 \mathbb{I}_{S_T \ge 35}\\ &=3 + (30-S_T)\mathbb{I}_{S_T > 30} + (S_T-35) \mathbb{I}_{S_T \ge 35}\\ &=3 - (S_T-30)\mathbb{I}_{S_T > 30} + (S_T-35) \mathbb{I}_{S_T \ge 35}\\ &=3 - \max(S_T-30, \,0) + \max(S_T-35, \, 0). \end{align*}

Answer 3

He aquí otra manera de hacerlo, que creo que es útil si usted no reconoce/tener conocimiento de opción específica para untar/técnicas. Esto podría ayudar a que en los exámenes u otros problemas, a pesar de reconocer las diferentes opciones de juegos es probablemente más fácil.

Primera vez que inicie desde la izquierda de la rentabilidad de la gráfica, y divide el gráfico en segmentos, así como la rentabilidad de la función en sí está dividido en segmentos: hay:

1. un segmento horizontal de valor $3$ (pendiente $0$) hasta $S_T = 30$
2. un segmento de pendiente $-1$ de $30 \leq S_T \leq 35$
3. un segmento horizontal de valor $-2$ (pendiente $0$) de $S_T >35$.

Así que usted sabe que 'no importa lo que' usted tiene $3 \text{USD}$ en la madurez, hasta que algo sucede en $S_T = 30$, por lo que nos acaba de hacer una cartera que nos da solo eso por ahora. Eso sería un largo bono cupón cero que paga $3 \text{USD}$ en el tiempo $T$, por lo que el valor presente de la cartera es de sólo $3e^{-r(T-t)}$. Entonces la rentabilidad tan lejos que hemos construido es sólo una línea horizontal para todos los $S_T$.

A partir de ahí, sabemos que algo ocurre a hacer la inclinación convertido desde $0$ a $-1$ y que esto sucede en $S_T = 30$. Así que sabemos que tenemos que añadir a nuestra cartera de una rentabilidad que tiene pendiente $-1$ en principio $S_T = 30$ e valor $0$ para $S_T < 30$. Si usted visualizar el tipo de pago esto es, es sólo una llamada de la rentabilidad de la huelga $30$ volcó en el eje-x, por lo que es una llamada corta de la posición de la huelga $30$. Así que ahora tenemos una cartera de $3e^{-r(T-t)} - C(S_t, 30, T)$, y este cumple con los dos primeros segmentos de la gráfica ya que la rentabilidad es de$3 + \min(30 - S_T,0)$, que es de$3$ abajo $S_T = 30$ y $33 - S_T$ arriba $30$.

Para el segmento final, sabemos que "algo ocurre" en $S_T = 35$ para hacer la inclinación $0$ de nuevo. Esto debe ser algo de cuesta $1$ (a partir de la pendiente de $1$ y $-1$ llevará a $0$ pendiente) a partir de $S_T = 35$. Así que esto es sólo la rentabilidad de una larga llamada posición. Así tenemos el final de la cartera de $3e^{-r(T-t)} - C(S_t, 30, T) + C(S_t,35,T)$, que tiene el pago de$3 + \min(30 - S_T,0) + \max(S_T - 35,0)$.

Sólo para comprobar cada caso: \begin{align*} f(S_T)=\begin{casos} 3 + \min(30 - S_T,0) + \max(S_T - 35,0) = 3 + 0 + 0 = 3 & \text{si }S_T\leq 30, \\ 3 + \min(30 - S_T,0) + \max(S_T - 35,0) = 3 + (30 - S_T) + 0 = 33 - S_T & \text{si }<de 30 S_T<35, \\ 3 + \min(30 - S_T,0) + \max(S_T - 35,0) = 3 + (30 - S_T) + (S_T - 35) = -2 & \text{si } S_T\geq35. \end{casos} \end{align*}

Sé que @KeSchn contestado ya, pero espero que esto ayude ya que esta es la forma en que suele hacer estas. Por supuesto, usted puede hacer esto de varias maneras, pero este llega a una respuesta correcta de forma relativamente rápida.

Edit: Gordon respuesta es definitivamente el camino a seguir si usted se siente cómodo con indicador de funciones. Hace todo lo que la gráfica de los métodos de hacer sin necesidad de visualizar etc