Cartera de media-varianza y programación cuadrática

Question

Estoy algo confundido cuando se trata de la teoría moderna de carteras, la optimización de carteras de varianza media y su formulación de programación cuadrática.

Tema 1: Formulación de la optimización de la cartera de media-varianza

Aprendí que la cartera de media-varianza está dada por el problema:

Minimizar con respecto a $\mathbf{x}$ : $\mathbf{x}^T \mathbf{\Sigma}\mathbf{x}$

Sujeto a las limitaciones: $\mathbf{\mu}^T\mathbf{x} \geq r, \mathbf{1}^T\mathbf{x}=1$

donde $\mathbf{x}$ es la cartera y $r$ es el rendimiento objetivo

Sin embargo, en Wikipedia encuentro que la teoría moderna de la cartera implica el siguiente problema de optimización:

Minimizar con respecto a $\mathbf{x}$ : $\mathbf{x}^T \mathbf{\Sigma}\mathbf{x} - q\times\mathbf{\mu}^T\mathbf{x}$

Sujeto a la restricción: $\mathbf{1}^T\mathbf{x}=1$

¿Cómo son idénticas estas dos fórmulas?

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Cuestión 2: Forma del problema de programación cuadrática

En la mayoría de las referencias (entre otras on Wikipedia ) el problema de programación cuadrática viene dado por:

Minimizar con respecto a $\mathbf{x}$ : $\frac{1}{2} \mathbf{x}^T Q\mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}$

Sujeto a las limitaciones: $A\mathbf{x} \leq \mathbf b,$ $E\mathbf{x} = \mathbf d$

Sin embargo, la función de R quadprog::solve.QP resuelve el siguiente problema:

Minimizar con respecto a $\mathbf{x}$ : $\frac{1}{2} \mathbf{x}^T Q\mathbf{x} - \mathbf{g}^T \mathbf{x}$

Sujeto a las limitaciones: $K\mathbf{x} \geq \mathbf m$

Nota:

• el signo de c es opuesto
• la restricción de desigualdad es opuesta
• falta la restricción de igualdad

¿Cómo es que estos dos son idénticos? Puedo aceptar el cambio de signo para $\mathbf c$ como cosmético pero el resto...

Answer 1

Con respecto a la primera cuestión, puede ser más sencillo considerar el caso en el que la restricción de la rentabilidad esperada es una igualdad. En ese caso, el primer problema puede transformarse en

Minimizar con respecto a $\left\{ x,\lambda_{1},\lambda_{2}\right\}$ : $x'\Sigma x + \lambda_{1} (\mu'x - r) + \lambda_{2} (1'x - 1)$

mediante la técnica de los multiplicadores lagrangianos, mientras que la segunda puede transformarse en

Minimizar con respecto a $\left\{ x,\lambda_{2}\right\}$ : $x'\Sigma x - q \mu'x + \lambda_{2} (1'x - 1)$

Así, se podría resolver la primera y establecer $q \equiv -\lambda_{1}$ para obtener efectivamente el problema equivalente en el segundo. Dado que el $r$ es una constante, puedes añadir su término de nuevo y no tendría ningún impacto en la optimización final (en el segundo, eso es).

Según mi experiencia, se puede cambiar fácilmente entre un marco de maximización de la rentabilidad, minimización del riesgo o maximización de la utilidad para problemas sencillos de optimización de carteras. Sin embargo, si se incorporan los costes de transacción o se realiza una optimización robusta o algún otro enfoque sofisticado, las fronteras eficientes pueden presentar algunas diferencias. En última instancia, hay que tomar una decisión sobre cuál utilizar (probablemente sea más común minimizar el riesgo sujeto a restricciones) y simplemente hacerlo de forma coherente al construir las fronteras eficientes o la cartera.

Con respecto al tema dos, los optimizadores suelen ser diferentes en sus especificaciones. Por lo general, tendrás que ajustar tu problema para que tenga la forma del optimizador que sea. Por ejemplo, multiplicar su $c$ por $-1$ , multiplicar $A$ y $b$ por -1 cada una, y añadiendo restricciones de desigualdad adicionales para crear restricciones de igualdad (porque se puede expresar una igualdad como dos desigualdades).