Soy un físico cuya investigación le ha llevado a la teoría de las ecuaciones diferenciales estocásticas. Si esta pregunta no es apropiada para este foro, por favor, siéntase libre de borrarla.
Así que he estado siguiendo a través de Bernt Oksendal Ecuaciones diferenciales estocásticas: An Introduction with Applications (5ª edición). En él, analiza un proceso estocástico unidimensional homogéneo en el tiempo $\{X_t\}_{t \ge 0}$ que resuelve la SDE $$ dX_t = a(X_t) dt + b(X_t) dW_t, \quad X_0 = x_0 \quad \mathbb{P} - a.s. $$ (Por supuesto, esto supone que $a(\cdot)$ y $b(\cdot)$ son integrables en Ito y me parece bien tomarlas como funciones suaves infinitamente diferenciables y acotadas que desaparecen en el infinito). Mi pregunta consiste en considerar dos funciones adicionales (suaves) $f(x)$ y $g(x)$ donde $f(x) \ne g(x)$ en general, pero sí satisfacen la igualdad, $$ f(x_0) = g(x_0). $$
Mi pregunta es, dada esta igualdad, ¿debemos concluir de la ecuación de Kolomogorov hacia atrás que $$ \mathbb{E}(f(X_T) ) = \mathbb{E}(g(X_T) ) $$ para cualquier momento $T \ge 0$ ?
Llego a esta conclusión porque la ecuación de Kolmogorov hacia atrás dice que, podemos considerar $$ u(t, x_0) = \mathbb{E}( g(X_t) ) $$ donde $u(t, x)$ resuelve la EDP $$ \frac{\partial}{\partial t} u(t, x) = a(x) \frac{\partial u}{\partial x} (t, x) + \frac{1}{2}b(x) \frac{\partial^2u}{\partial x^2} (t, x) $$ con la condición inicial, $u(0, x_0) = g(x_0)$ .
Ahora, en lugar de considerar $g$ consideramos la función $\mathbb{E}( f(X_t) )$ . Creo que escribiría el el mismo ecuación sujeta a la el mismo condición inicial. Esto me lleva a concluir que $ \mathbb{E}(f(X_T) ) = \mathbb{E}(g(X_T) )$ independientemente de la forma en que $f(x)$ y $g(x)$ puede comportarse lejos de $x_0$ .
Mi intuición dice que esto no es correcto y que la información derivada sobre $f$ y $g$ debe ser tenido en cuenta de alguna manera. ¿Es que la condición inicial es realmente una condición de contorno y estamos diciendo realmente que $u(0, x) = g(x)$ para cualquier $x$ ?
Después de escribir esto, creo que he respondido a mi propia pregunta, pero se agradece cualquier comentario.
Gracias.
