Determinar $E[W_p W_q W_r]$

Question

Dado el espacio de prueba $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ y un proceso Wiener $(W_t)_{t \geq 0}$ definir la filtración $\mathscr{F}_t = \sigma(W_u : u \leq t)$

Sea 0 < p < q < r. Determine $E[W_p W_q W_r]$ .

Mi intento:

$0 = E[(W_r-W_q)(W_q-W_p)(W_p)]$

$\to E[W_p W_q W_r] = E[W_r W_p^2 + W_pW_q^2 + W_qW_p^2]$

$\to E[W_p W_q W_r] = E[(W_r+W_q) W_p^2 + W_pW_q^2]$

$\to E[W_p W_q W_r] = E[E[(W_r+W_q) W_p^2 + W_pW_q^2]|\mathscr{F_p}]$

$\to E[W_p W_q W_r] = E[W_p^2E[(W_r+W_q)|\mathscr{F_p}] + E[W_pE[(W_q^2)|\mathscr{F_p}]]$

$\to E[W_p W_q W_r] = ...0$ ?

Parece que las cosas son $\mathscr{F_p}$ -¿Medible? $E[(W_r+W_q)]=0=E[W_p]$

No lo sé. ¿Ayuda, por favor? :(

Answer 1

Sabemos que $(\tilde{W}_t) := (-W_t)$ también es un proceso de Wiener, por lo que $$ E[W_pW_qW_r] = E[\tilde{W}_p\tilde{W}_q\tilde{W}_r] = (-1)^3E[W_pW_qW_r] $$ y eso implica que $E[W_pW_qW_r] = 0$ .

Answer 2

Creo que estás en el camino correcto.

Por desgracia, has cometido un error de signo en la primera línea: $$E[W_p W_q W_r] = E[W_r W_p^2 + W_pW_q^2 - W_qW_p^2]=\\ E[(W_r-W_q)W_p^2]+E[W_pW_q^2]= E[W_pW_q^2] $$ El primer término es $0$ por la independencia (como $p<\text{min}(r,q)$ y el cuadrado no afecta a la independencia).

Para ocuparnos del segundo término hacemos el truco de la expansión estándar: $$E[W_pW_q^2] = E[W_p(W_q-W_p)^2]+2E[W_qW_p^2]-E[W_p^3]$$

Ahora, el primer término es $0$ de nuevo, por la independencia. Para el tercer término utilizamos que el tercer momento central de una distribución normal es $ 0$ . El segundo término también es $0$ como muestra un simple cálculo: $$ E[W_qW_p^2] = E[(W_q - W_p)W_p^2]+E[W_p^3] = 0$$ de nuevo, por la independencia de los incrementos.

Así que resulta que $$E[W_pW_qW_r]=0.$$

Espero haber hecho todo bien. Debo admitir que esperaba un resultado diferente.

Answer 3

Tenga en cuenta que $\{W_t \mid t \geq 0\}$ es una martingala. Entonces, para $0<p<q<r$ , \begin {align*} E(W_pW_qW_r) &= E \Big ( E(W_pW_qW_r \mid \mathcal {F}_q) \Big ) \\ &=E \Big (W_pW_q E(W_r \mid \mathcal {F}_q) \Big ) \\ &=E \Big (W_pW_q^2 \Big ) \\ &=E \Big (W_p(W_q-W_p+W_p)^2 \Big ) \\ &=E \Big (W_p(W_q-W_p)^2+W_p^3+2W_p^2(W_q-W_p) \Big ) \\ &=E(W_p)E \Big ((W_q-W_p)^2 \Big )+E(W_p^3)+2E \big (W_p^2 \big )E(W_q-W_p) \\ &=0, \end {align*} observando que \begin {align*} E(W_p) = E(W_p^3) = E(W_q-W_p) = 0. \end {align*}