Equivalencia de las fórmulas de precios de venta

Question

Tengo que mostrar eso:

\begin {ecuación} P_{t,T}(K)=e^{-r(T-t)} \int_0 ^{ \infty } \left (K-S \right )^+ q_T^S(S)dS \end {ecuación}

es equivalente a: \begin {ecuación} P_{t,T}(K)=e^{-r(T-t)} \int_ {- \infty }^{K} \left ( \int_ {- \infty }^y q_T^S(z)dz \right )dy \end {ecuación}

Breeden y Litzenberger han demostrado que usar la regla de integración de Leibniz y diferenciar la primera ecuación dos veces conduce a: \begin {ecuación} q_T^S(K)=e^{rf(T-t)} \frac { \partial ^2P_{t,T}(K)}{ \partial K^2} \vert_ {K=S_T} \end {ecuación}

Sin embargo, tengo dificultades para pasar directamente de la primera a la segunda ecuación de una manera elegante. ¿Alguien tiene una idea de cómo se puede lograr esto?

¡Muchas gracias por la ayuda!

Answer 1

La primera ecuación expresa el precio de la opción como un valor esperado descontado del pago que depende del precio de un activo $S \geqslant 0$ . Sin pérdida de generalidad, asumimos que la función de densidad de probabilidad tiene soporte en $[0, \infty )$ y reescribir como

$$ \begin {align} P_{t,T}(K) &=e^{-r(T-t)} \int_ {- \infty }^{ \infty } \left (K-S \right )^+ q_T^S(S)\,dS \\ &= e^{-r(T-t)} \int_ {- \infty }^{K} \left (K-S \right ) q_T^S(S)\,dS \end {align} $$

La integración por partes con $u = K-S$ y $dv = q_T^S(S)\,dS $ Tenemos $du = -dS $ y

$$v = \int_ {- \infty }^S q_T^S(z) \, dz,$$

que con los términos de los límites que se desvanecen produce el resultado

$$P_{t,T}(K) = e^{-r(T-t)} \int_ {- \infty }^K \left ( \int_ {- \infty }^Sq_T^S(z) \, dz \right ) \, dS$$