Suavización de la función de pago como condición final para la valoración numérica de las opciones

Question

Estoy interesado en utilizar un método de diferencias finitas de 4º orden en el espacio del (activo subyacente) para valorar una opción de compra europea. He desarrollado el solucionador y todo funciona como se esperaba, excepto que, por muy alto que sea el orden de mi método numérico, la tasa de convergencia máxima es siempre de segundo orden debido a la discontinuidad en la primera derivada de la función de pago.

Por suerte, hay un alisado remedio para esto, probado alrededor de 1970, en un documento clásico Suavización de datos iniciales y tasas de convergencia para ecuaciones en diferencias parabólicas por Kreiss et al. Esto se utilizó más recientemente en Esquemas compactos de alto orden para problemas parabólicos con derivadas mixtas en múltiples dimensiones espaciales por Düring et al, pero sin explicar cómo se invierte la función dada por su transformada de Fourier en el capítulo 9 de ese trabajo y se inserta en la integral de suavizado.

Agradecería mucho si alguien tiene una idea de cómo realizar este procedimiento de suavizado de 4º orden. Prácticamente, necesito resolver la siguiente integral: $$\tilde{u}_0(s)=\frac{1}{h}\int_{-3h}^{3h} \Phi_4\left(\frac{x}{h}\right)u_0(s-x)\text{d}x,$$ donde $\Phi_4$ viene dada por su transformada de Fourier: $$\hat{\Phi}_4(\omega)=\left(\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}\right)^4\times\left(1 + \frac{2}{3}\sin^2(\omega/2)\right).$$

Actualización: Conseguí resolver el problema usando poderes simbólicos de Mathematica y Matlab. La solución al problema de Fourier inverso se da a continuación como un código de Matlab:

f4 = @(x) (1/36)*(1/2)*...
    ( +56*x.^3.*sign(x) +(x-3).^3.*(-sign(x-3)) +12*(x-2).^3.*sign(x-2) -39*(x-1).^3.*sign(x-1) -39*(x+1).^3.*sign(x+1) +12*(x+2).^3.*sign(x+2) -(x+3).^3.*sign(x+3));

Entonces sólo hay que introducir esta expresión en la integral dada en la primera ecuación junto con su condición inicial favorita y resolverla con un método de preferencia.

Answer 1

Sólo quería decir que resolví el problema utilizando las funciones simbólicas/analíticas de Mathematica y Matlab para realizar la transformada de Fourier inversa y luego utilicé la integración numérica de alto orden para resolver la integral de suavizado.

Answer 2

Otro enfoque habría sido utilizar alguna proyección como en Pooley y Vetzal Remedios de convergencia para los pagos no suaves en la valoración de opciones .

En su caso, puede ser una proyección de la condición inicial al espacio RBF (he leído su artículo, y parece interesante). Me pregunto un poco cómo se comparan los dos enfoques.