Derivando la fórmula Black-Scholes como el valor esperado en la liquidación de una opción

Question

Mi pregunta se refiere a la fórmula Black-Scholes para el valor de una opción Europea, a saber,

\begin{align} C(S_t, t) &= N(d_1)S_t - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T t}}\left[\ln\left(\frac{S_t}{K}\derecho) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T t} \\ \end{align}

En primer lugar, quiero ignorar para los efectos de esta pregunta, la derivación de esta fórmula con la de Black-Scholes de la PDE de cobertura dinámica argumento, que no he sido en detalle, pero entiendo que en la principal. Más bien, me gustaría que alguien me explique por qué el siguiente argumento, que me lleva a una (ligeramente) respuesta diferente de la de arriba, que está mal.

El modelo Black-Scholes de los movimientos de stock postula que el cambio $\Delta$ S en un precio de las acciones durante un pequeño intervalo de tiempo $\Delta t$ se comporta como

$\Delta S = \mu S \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \varepsilon S$

donde $\mu = \text{la velocidad de deriva}$, $\sigma = \text{volatilidad}$ (constante), y $\varepsilon$ es una feria de coin flip resultando en $1$ y $-1$ (yo prefiero este aumento en la ecuación para una estocástico uno, no estoy en Ito lema y todo eso). $S_T$, el precio de las acciones en el tiempo $T$, es entonces (fijo $\Delta t$) de la variable aleatoria

$S_T = S_0 \left(1+\mu \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \derecho)^X \left(1+\mu \Delta t \sigma \sqrt{\Delta t}\derecho)^{N-X}$

donde $X$ es un binomio R. V. contar la cantidad de $1$'s de la moneda gira y $N = T/\Delta t$. Utilizando la aproximación normal para $X$ y dejar que $\Delta t \rightarrow 0$ nos pone

$S_T = S_0 e^{(\mu\sigma^2/2)T}e^{\sigma \sqrt{T} Z}$

donde $Z$ es normal estándar (o podríamos sustituir $\sqrt{T} Z$ con el movimiento browniano $W$ para un modelo dinámico).

Ahora, ¿cuál es el valor razonable de una opción Europea sobre este stock a precio de ejercicio de $K$ y tiempo a vencimiento $T$? Así, el vendedor de una opción sería esperar a tener que pagar al vencimiento, en promedio

$E[\text{max}(S_T - K,0)]$

Es decir, el valor esperado de la liquidación de la opción. Y así, a precio de hoy, sería de descuento en espera de pago por la tasa libre de riesgo:

$e^{-rT}E[\text{max}(S_T - K,0)]$

Pero, esto está mal, de acuerdo a la fórmula Black-Scholes dado el principio. Me ahorraré los cálculos, pero en realidad, este cálculo se devuelve el correcto fórmula Black-Scholes sólo si cambiamos nuestro modelo $S_T$ a

$S_T = S_0 e^{(r-\sigma^2/2)T}e^{\sigma \sqrt{T} Z}$

Es decir, mediante la sustitución de $\mu$, la tasa de desplazamiento de la población, de a $r$, la tasa libre de riesgo. Y, entonces, mi pregunta es, ¿por qué estamos justificados en hacer esto? ¿Por qué es bueno, para los efectos de este cálculo, a "fingir" que la tasa de desplazamiento de la bolsa es de $r$, cuando muy bien podría no ser en la vida real?

Dos objeciones vienen a mi mente con respecto a mi computación. En primer lugar, supone que la persona que la valoración de la opción sólo se preocupa de sus ganancias esperadas, y no de la volatilidad de las ganancias, debido a la volatilidad de la acción en sí misma (es decir, se asume el riesgo de la neutralidad, que puede no ser el caso). Aún así, si alguien fuera a vender lo suficiente de estas opciones (en idénticos, pero independiente de las existencias) de la ley de los promedios para ganar, entonces esto sería una correcta valoración. Y en segundo lugar, este no parece ser en realidad calcular el valor de mercado de la opción, pero sólo el costo esperado para el vendedor. Que es, espera que el costo para el vendedor podría no ser exactamente la misma cosa como el valor para el comprador. Pero aún así, si alguien se ofrecen opciones a un precio distinto a este, obvio (estadística) oportunidades de arbitraje que existen (por un participante en el mercado con suficientes reservas para sortear la volatilidad en los pagos).

Estoy interesado en sus pensamientos sobre estas objeciones. Pero mi gran pregunta sigue siendo: ¿por qué la sustitución de $\mu$ con $r$, nos llevan a la fórmula correcta, cuando $\mu$ y $r$ casi nunca son iguales? Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Hay un montón de diferentes cuestiones que hay que abordar en su post.

Me gustaría que alguien me explique por qué el siguiente argumento, que me lleva a una (ligeramente) respuesta diferente de la de arriba, que está mal.

Dejar que $\mathbb{P}$ designar en el mundo real de las probabilidades, la razón por la que su razonamiento no es correcto, es porque postulan que:

el vendedor de una opción sería esperar a tener que pagar al vencimiento, en promedio $$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}}[\max(S_T−K,0)] $$ Que es el valor esperado de la liquidación de la opción. Y así, a precio de hoy, sería de descuento en espera de pago por la tasa libre de riesgo.

Su razonamiento sería correcto si la opción de compra y el activo subyacente sobre el que está escrito $-$ y que usamos para cubrir nuestra exposición $-$ fueron no se negocian. Para entender esto, considere la posibilidad de una forma más sencilla de producto: un contrato a futuro escrito en el mercado de valores, en la que usted se compromete a comprar o vender una acción en la madurez $T$ a un precio de $K$. El valor esperado de $S_T$ bajo el modelo es:

$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}}[S_T]=S_0e^{\mu T}$$

Es este un precio justo para el contrato forward:

$$ K = S_0e^{\mu T} \text{ ?}$$

Bueno, no: asuma que usted puede entrar en este contrato con un cliente que, como usted y otros participantes en el mercado, puede pedir prestado a una tasa de $r<\mu$. El cliente puede introducir en un futuro vender acuerdo con usted, para que usted se compromete a comprar la bolsa de compartir, al precio de $K$ por encima en vez de $T$. El cliente puede pedir prestado a la tasa de $r$ un monto de $S_0$ $-$ es decir, igual al valor del precio actual $-$ con vencimiento $T$ y comprar las acciones de ahora. En $T$, tu cliente:

• el uso de las acciones que compró a $t=0$ para entregar a la población a usted;
• el propietario de un monto de $S_0e^{rT}$ a su prestamista;
• recibir un monto de $S_0e^{\mu T}$ de la venta de la acciones a usted.

Así que el final de su rentabilidad será:

$$ S_0(e^{\mu T}-e^{rT}) > 0 $$

lo cual constituye una oportunidad de arbitraje. El mercado va a hacer que desaparecen porque constituyen "dinero gratis". ¿Cuál es el precio a cobrar por el contrato a futuro? Así, el cliente tiene siempre la opción de pedir prestado $S_0$ a la tasa de $r$ y ofrecer el compartir en la madurez, de ahí la lógica de los precios para evitar el arbitraje estrategias es:

$$ K_{\text{Para}} = S_0e^{rT} $$

Usted ve un par de cosas aquí:

• Como con el ejemplo más complejo de una opción de compra, la fijación de precios de un contrato forward es equivalente a requerir que el precio de las acciones a tener una tasa de retorno de $r$ bajo una cierta probabilidad de medida: no importa que el stock es cierto retorno promedio es de $\mu$, el hecho de que usted puede cubrir su exposición a los préstamos a una tasa de $r$ anula esta propiedad.
• Cuando la derivada $-$ opción de compra, contrato a plazo $-$ o subyacente puede ser objeto de comercio y, por tanto, el riesgo puede ser cubierto, entonces la ley de los grandes números a los que llamar en es reemplazado por el requisito de que no debe haber oportunidades de arbitraje (en la vida real, estos desaparecer muy rápidamente). Para más detalles sobre esto, usted puede comprobar mi respuesta a la pregunta deReferencia de por qué un derivado es un derivado y no decir un contrato de seguro".

Aún así, si alguien fuera a vender lo suficiente de estas opciones (en idénticos, pero independiente de las existencias) de la ley de los promedios para ganar, entonces esto sería una correcta valoración.

El hecho es que, mediante la valoración de los derivados de esa manera, él será el sangrado dinero por salir de los participantes en el mercado de arbitraje de él en cada contrato.

Pero mi gran pregunta sigue siendo: ¿por qué la sustitución de $\mu$ con $r$, nos llevan a la fórmula correcta, cuando $\mu$ y $r$ casi nunca son iguales?

Intuitivamente, se puede pensar de esta manera: no es la tasa de retorno del activo subyacente que importa, sino la velocidad a la que usted puede pedir prestado el activo subyacente para la cobertura del mismo.

Matemáticamente, el camino más corto para entender esto, es a través de un PDE enfoque. Usted puede saber que a través de dinámicas de cobertura argumentos, se puede derivar una PDE que determina la opción del valor; dejando $C_t$ el precio de la opción call y $\Phi(S_T)=\max(S_T-K,0)$ su rentabilidad, este PDE es:

$$ \frac{\partial C_t}{\partial t} + \frac{\partial C_t}{\partial S_t}rS_t +\frac{1}{2}\frac{\partial^2C_t}{\partial S_t^2}\sigma^2S_t^2-rC_t = 0 $$

De todos modos, el punto principal aquí es que podemos aplicar para que la PDE ecuación de la Feynman-Kac Teorema que afirma su solución, es decir, la función $C_t$ que sigue a esa dinámica con enfermedad terminal $C_T=\Phi(S_T)$, puede ser calculada como la siguiente expectativa $-$ virtud de una medida de probabilidad $\mathbb{Q}$ donde se deriva del precio de las acciones es de $r$:

$$ C_0 = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^Trdt}\Phi(S_T)|S_0\derecho] = e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\max(S_T-K,0)|S_0\derecho] $$

El hecho de que la fijación de precios de un contrato de derivados es equivalente a calcular la expectativa de su pago en virtud de una medida de probabilidad $\mathbb{Q}$ donde el stock del precio de la deriva es de $r$ en vez de $\mu$ es poco más que un truco matemático resultante de Feynman-Kac Teorema.

Answer 2

Usted comete un error crucial cuando se supone que el precio de la opción es $$C=e^{-rT}E^{\mathbb{P}}[(S_T-K)^+]$$ que es, no es cierto que el precio de un activo es el descuento (utilizando la tasa libre de riesgo) rentabilidad en virtud de la medida física $\mathbb{P}$. Las dos siguientes declaraciones, por otro lado, son verdaderas: $$C=E^{\mathbb{P}}\left[\frac{\xi_T}{\xi_0}(S_T-K)^+\derecho]$$ $$C=e^{-rT}E^{\mathbb{Q}}[(S_T-K)^+]$$ donde $\xi_t$ es el estado de los precios de la densidad, es decir, el proceso estocástico $\xi_t$ virtud de la cual el producto con cualquier activo $\xi_t S_{es}$ es $\mathbb{P}$-martingala, o $\mathbb{Q}$ es el riesgo-neutral medida en virtud de la cual cualquier activo se deriva $r$, es decir, la de cualquier activo, con el siguiente SDE $$\frac{dS_{no}}{S_{es}}=rdt+\sigma dZ^\mathbb{Q}$$.

En mi opinión, la forma más fácil de mostrar que Black-Scholes de la siguiente manera, es resolver la misma integral de darse cuenta de que debajo de $\mathbb{Q}$ el precio de las acciones es de $S_T=S_0 e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T+\sigma \sqrt{T}Z}$. Alternativamente, usted puede demostrar que el SPD de la siguiente manera $\frac{d\xi}{\xi}=-rdt-\frac{\mu-r}{\sigma}dZ^{\mathbb{P}}$, el uso de Ito lema en $f(t,S,\xi)=S\xi$ y obtener el mismo resultado de nuevo.

Answer 3

Las respuestas por encima de abordar la cuestión de la probabilidad de que la medida debe ser utilizado al calcular el valor esperado de una opción de compra en virtud de Black-Scholes supuestos. Para la perspectiva, también debería revisar un texto como Musiela y Rutkowski.

Si usted desea ver los detalles de cálculo, he trabajado a través de ella usando Mathematica. Ver ntgladd.com, ficha = Finanzas, sección = Black-Scholes, el Formalismo, el notebook = 17-9 Derivación de la fórmula Black-Scholes mediante el cálculo de una expectativa. La misma fórmula se deriva de la Black-Scholes de la PDE en 17-10 la Resolución de BS PDE de opción call.