Opción asiática con promedio geométrico

Question

¿Alguien puede señalarme alguna nota sobre cómo derivar la fórmula de forma cerrada para la opción de promedio geométrico asiática con pago $\text{max}\left(\text{log}\left(\frac{A_T}{K}\right), 0\right)$ donde $A_T$ está dado por

$$ A_T=\text{exp}\left(\frac{1}{T}\int_0^T \text{log}(S_u) du \right) $$

Podemos suponer que la acción sigue un GBM como en el modelo de Black-Scholes.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} \int_0^T\ln S_u du &= \int_0^T\Big[\big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\big)u + \sigma W_u \Big] du\\ &=\frac{1}{2}\big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\big)T^2 + \sigma\int_0^T\int_0^u dW_s \,du\\ &=\frac{1}{2}\big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\big)T^2 + \sigma\int_0^T\int_s^T du \,dW_s\\ &=\frac{1}{2}\big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\big)T^2 + \sigma\int_0^T(T -s) \,dW_s,\\ \end{align*} que es normalmente distribuida. Entonces \begin{align*} \ln \frac{A_T}{K} &= \frac{1}{T}\int_0^T\ln S_u\, du -\ln K\\ &\sim N\left(\frac{1}{2}\big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\big)T-\ln K, \ \Big(\frac{\sigma T}{\sqrt{3}}\Big)^2 \right)\\ &=\mu + \Sigma\, \xi, \end{align*} donde $\mu = \frac{1}{2}\big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\big)T -\ln K$, $\Sigma = \frac{\sigma T}{\sqrt{3}$, y $\xi$ es una variable aleatoria normal estándar. En consecuencia, el pago de la opción tiene valor \begin{align*} e^{-rT} E\left(\max\Big(\ln \frac{A_T}{K}, \, 0 \Big) \right) &= e^{-rT} E\left(\max\big(\mu + \Sigma\, \xi, \, 0 \big) \right)\\ &=\frac{e^{-rT}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{\mu}{\Sigma}}^{\infty} (\mu+\Sigma \, x) e^{-\frac{1}{2}x^2}dx\\ &=e^{-rT}\bigg[\mu \Phi\Big(\frac{\mu}{\Sigma}\Big)+\frac{\Sigma}{\sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{\mu^2}{2\Sigma^2}}\bigg], \end{align*} donde $\Phi$ es la función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal estándar.