Juego de Bertrand - Equilibrio de Nash

Question

La cantidad está limitada a 300 pero la cantidad de monopolio es igual a 400 y da un precio de monopolio de 600. Pero si ponemos la cantidad de 300 en la función de demanda obtenemos un precio de 700. Pero estoy confundido.

Cualquier ayuda será apreciada. Gracias.

Answer 1

Firme $i$ Los beneficios de la empresa $(\pi_i)$ en función de su propio precio $(p_i)$ y el precio de la otra empresa $(p_j)$ son los siguientes :

\begin{eqnarray*} \pi_i(p_i, p_j) = \begin{cases} (p_i-200)\min(1000- p_i, 300) & \text{if } p_i < p_j \\ (p_i-200)\min\left(\frac{1000- p_i}{2}, 300\right) & \text{if } p_i = p_j \\ 0 & \text{if } p_i > p_j\end{cases} \N - Fin.

, $i, j \in \{1,2\}$ y $i \neq j$ .

Ahora encontramos la mejor correspondencia de respuesta de la empresa $i$ $(\text{BR}_i(p_j))$ resolviendo el siguiente problema \begin{eqnarray*} \max_{0 \leq p_i \leq 1000} & \ \ \pi_i(p_i, p_j) \end{eqnarray*}

y obtendremos

\begin{eqnarray*} \text{BR}_i(p_j) = \begin{cases} \{700\} & \text{if } p_j > 700 \\ \emptyset & \text{if } 400 < p_j \leq 700 \\ \{p_j\} & \text{if } 200 < p_j \leq 400 \\ \{p : p \ge 200\} & \text{if } p_j = 200 \\ \{p : p > p_j\} & \text{if } p_j < 200\end{cases} \end{eqnarray*}

$(p_1^*, p_2^*)$ es un equilibrio de Nash de este juego si satisface $p_1^* \in \text{BR}_1(p_2^*)$ y $p_2^* \in \text{BR}_2(p_1^*)$ . Así se obtiene el siguiente conjunto de equilibrios de Nash :

$\{(p_1^*, p_2^*) : 200 \leq p_1^*= p_2^* \leq 400\}$

es decir, cualquier perfil de acción en el que ambas empresas cobran el mismo precio, y ese precio se encuentra en el intervalo $[200, 400]$ es un equilibrio de Nash del juego.