Dejemos que $L=E+U$ donde $L$ es la fuerza de trabajo, $E$ es el número de empleados, y $U$ es la gente desempleada.
Dejemos que $u = \frac{U}{L}$ y $v = \frac{V}{L}$ .
Dado $m(u,v)$ como una función de emparejamiento que determina el flujo de emparejamientos entre los trabajadores y las empresas, y asumir $m$ tiene un rendimiento constante a escala (CRS) en los dos argumentos $u$ y $v$ .
La elasticidad de la tasa de llegada de trabajadores viene dada por $$\theta q(\theta),$$ donde $\theta = \frac{v}{u}$ representa la "estrechez" del mercado laboral.
Elasticidad ( $\epsilon$ ) = $$\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} \frac{x}{f(x)} = \frac{\partial m}{\partial \theta} \frac{\theta}{m(1,\theta)},$$
donde $\theta q(\theta) = m(\theta^{-1},1) = m(1,\theta)$ (utilizando la propiedad CRS de $m$ en los dos argumentos $u$ , $v$ ).
El ritmo al que los trabajadores desempleados encuentran trabajo: $$\theta q(\theta) = m(\theta^{-1},1)=m(1,\theta),$$ desde la función de concordancia, $m$ es un rendimiento constante a escala en cada argumento.
Desde $\theta q(\theta) = m(1,\theta)$ , $$\frac{\partial m(1,\theta)}{\partial \theta} = q(\theta) + \theta q'(\theta).$$
Así que la elasticidad de la tasa de llegada de los trabajadores, $$\epsilon = \frac{\partial m}{\partial \theta} \frac{\theta}{m} = \left [q(\theta) + \theta q'(\theta) \right ] \frac{\theta}{\theta q(\theta)} = 1 + \frac{\theta q'(\theta)}{q(\theta)}$$ .
Desde $q'(\theta)<0$ , $\epsilon<1$ pero ¿cómo puedo demostrar formalmente que está entre $0$ y $1$ ?
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¿Qué hace la función $q(\cdot)$ ¿Representar?
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$q(\theta)$ es el ritmo al que se cubren los puestos de trabajo. Es positivo y decreciente en $\theta$ .
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@denesp Así que no estoy seguro de si $\theta>0$ Pensé que podía ser $0$ pero ese es el caso extremo.
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Eso no es un problema. Dado $\theta \geq 0$ y $q'(\theta) < 0$ incluso si $\theta = 0$ tienes $$\epsilon = 1 + \frac{\theta q'(\theta)}{q(\theta)} \leq 1.$$ Básicamente quieres mostrar $$\epsilon = 1 + \frac{\theta q'(\theta)}{q(\theta)} \geq 0.$$ Para ello creo que se necesita más información sobre $q$ ya que no es válida para todas las funciones.
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@denesp Así que $q(\theta) = \frac{m(u,v)}{v}=m(\frac{u}{v},1)=m(\theta^{-1},1)$ . ¿Es esto suficiente para demostrar que $\epsilon \geq 0$ ?
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Me temo que no. Necesita la forma específica de $q$ o $m$ o algunas propiedades adicionales.