Demostrando que la elasticidad de la tasa de llegada de los trabajadores wrt $\theta$ está entre $0$ y $1$

Question

Dejemos que $L=E+U$ donde $L$ es la fuerza de trabajo, $E$ es el número de empleados, y $U$ es la gente desempleada.

Dejemos que $u = \frac{U}{L}$ y $v = \frac{V}{L}$ .

Dado $m(u,v)$ como una función de emparejamiento que determina el flujo de emparejamientos entre los trabajadores y las empresas, y asumir $m$ tiene un rendimiento constante a escala (CRS) en los dos argumentos $u$ y $v$ .

La elasticidad de la tasa de llegada de trabajadores viene dada por $$\theta q(\theta),$$ donde $\theta = \frac{v}{u}$ representa la "estrechez" del mercado laboral.

Elasticidad ( $\epsilon$ ) = $$\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} \frac{x}{f(x)} = \frac{\partial m}{\partial \theta} \frac{\theta}{m(1,\theta)},$$

donde $\theta q(\theta) = m(\theta^{-1},1) = m(1,\theta)$ (utilizando la propiedad CRS de $m$ en los dos argumentos $u$ , $v$ ).

El ritmo al que los trabajadores desempleados encuentran trabajo: $$\theta q(\theta) = m(\theta^{-1},1)=m(1,\theta),$$ desde la función de concordancia, $m$ es un rendimiento constante a escala en cada argumento.

Desde $\theta q(\theta) = m(1,\theta)$ , $$\frac{\partial m(1,\theta)}{\partial \theta} = q(\theta) + \theta q'(\theta).$$

Así que la elasticidad de la tasa de llegada de los trabajadores, $$\epsilon = \frac{\partial m}{\partial \theta} \frac{\theta}{m} = \left [q(\theta) + \theta q'(\theta) \right ] \frac{\theta}{\theta q(\theta)} = 1 + \frac{\theta q'(\theta)}{q(\theta)}$$ .

Desde $q'(\theta)<0$ , $\epsilon<1$ pero ¿cómo puedo demostrar formalmente que está entre $0$ y $1$ ?

Answer 1

Dejemos que $m$ cobb-douglas. Esto significa $m(u,v) = A u^\alpha v^{1-\alpha}$ para $\alpha < 1$ y $q(\theta) = A \theta^{-\alpha}$ .

Entonces

$$\frac{\theta q'(\theta)}{q(\theta)} = -\alpha > -1$$

No estoy seguro de hasta qué punto esto es válido para otras formas funcionales, pero no he visto que se utilice nada más que Cobb-Douglas como función de emparejamiento.