¿Cómo determinar los componentes de la estructura temporal afín para un proceso de Ohrnstein-Uhlenbeck?

Question

Me pregunto cómo puedo determinar los componentes $A(t,T)$ y $B(t,T)$ para el proceso del precio del bono cupón cero $p(t,T)=e^{A(t,T)-r(t)B(t,T)}$ ? Los componentes se definen en el siguiente enlace: https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_term_structure_model

La dinámica de la tasa corta sigue un proceso de Ohrnstein-Uhlenbeck, $dr(t)=(b-ar(t))dt+dW^Q(t)$

Solución hasta ahora:

La solución explícita para el proceso Ohrnstein-Uhlenbeck es,

$r(T)=r(t)e^{-a(T-t)}+\frac{b}{a}(1-e^{-a(T-t)})+\sigma \int_{t}^{T} e^{-a(T-t-u)} dW_u^Q$

Por valoración neutral del riesgo,

$\Pi = E^Q_t[\frac{B(t)}{B(T)}r(T)B(T)]=B(t)(r(t)e^{-a(T-t)}+\frac{b}{a}(1+e^{-a(T-t)}))$

$B(t)=e^{-\int_{0}^{t} r(u)du}$

A partir de aquí no sé cómo resolver $A(t,T)$ o $B(t,T)$ . Puede que esté cansada. Le agradecería que me orientara. Muchas gracias.

Answer 1

Sea $\mathrm{d}r_t=\mu(t,r_t)\mathrm{d}t+\sigma(t,r_t)\mathrm{d}W_t$ sea un modelo para el tipo a corto bajo la medida neutral de riesgo $\mathbb{Q}$ . Partiendo de la EDP de enlace \begin{align*} P_t + \mu(t,r) P_r + \frac{1}{2}\sigma(t,r)^2P_{rr} -rP=0, \end{align*} sujeto a $P(T,T)=1$ cuya solución general es $P(t,T)=\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[e^{-\int_t^T r_u\mathrm{d}u}\mid\mathcal{F}_t\right]$ (véase Feynman Kac).

Para obtener un modelo ATS, ahora ``supones'' que $P(t,T)=e^{A(t,T)+r_tB(t,T)}$ con \begin{align*} P_t(t,T) &=\big(A_t(t,T)+r_tB_t(t,T)\big)\cdot P(t,T), \\ P_r(t,T) &= B(t,T)\cdot P(t,T), \\ P_{rr}(t,T) &= B(t,T)^2\cdot P(t,T). \end{align*} Introduciendo esto en la EDP anterior, se obtiene \begin{align*} A_t(t,T) + \mu(t,r) B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma(t,r)^2B(t,T)^2 +(B_t(t,T)-1)r &=0. \end{align*} La condición límite terminal pasa a ser $A(T,T)=B(T,T)=0$ .

En el caso Vasicek, $\mu(t,r_t)=\kappa(\theta-r_t)$ y $\sigma(t,r_t)=\sigma$ . Así, \begin{align*} A_t(t,T) + \kappa \theta B(t,T) - \kappa r B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2 +(B_t(t,T)-1)r &=0 \\ \implies A_t(t,T) + \kappa \theta B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2-(1-B_t(t,T)+\kappa B(t,T))r &=0. \end{align*}

Esta ecuación debe satisfacerse para todo $r$ . Así, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones (diferenciales ordinarias de primer orden) \begin{align*} \begin{cases} A_t(t,T) + \kappa \theta B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2 &= 0, \\ 1-B_t(t,T)+\kappa B(t,T) &= 0, \end{cases} \end{align*} sujeto a $A(T,T)=B(T,T)=0$ . Ahora se resuelve primero la segunda ecuación en forma cerrada y luego, con este resultado, se puede resolver la primera ecuación. Se obtiene la fórmula estándar del precio de los bonos de Vasicek.