En el proceso de hacer esta pregunta, realmente encontré la solución. Dejo abierto este post por si puede ser interesante para alguien más y he añadido una pregunta relacionada al final.
Quiero comprobar si los tipos de interés que asumo para la valoración de las opciones son coherentes con los tipos de interés implícitos/supuestos por el mercado.
Para ello, asumo que dados unos precios de compra y venta "suficientemente buenos" para las opciones de compra y venta a diferentes precios de ejercicio $k_i$ para un tenor fijo $T$ En el caso de la paridad put-call, se esperaría que se derivara una línea relativamente horizontal.
Para ser precisos, calculo lo siguiente:
$$F^{ask}(k,T) := k + e^{r_T T}(C^{bid}(k,T) - P^{ask}(k,T)),$$ $$F^{bid}(k,T) := k + e^{r_T T}(C^{ask}(k,T) - P^{bid}(k,T)),$$
donde $r_T$ es el tipo cero asumido con capitalización continua para el periodo $[0, T]$ . Mi expectativa es que $r_T$ debe ser tal que $F^{bid}(k_1,T) \approx F^{bid}(k_2, T)$ para las diferentes huelgas $k_1, k_2$ , lo mismo para $F^{ask}$ .
Aquí no tengo ninguna información adicional sobre el valor a plazo, sólo sé que $F = S_0 \exp((r_T-b-\delta)T)$ donde $\delta$ y $b$ son mis tasas de dividendos y préstamos. Mi objetivo es extraer $r_T$ y $b + \delta$ .
He aquí un ejemplo ilustrativo basado en las opciones del S&P500. Aquí he asumido una curva de tipo cero de swap para utilizarla en la fórmula de paridad put-call. Interpolé esta curva utilizando splines cúbicos.
En rojo es $F^{ask}$ , en negro $F^{bid}$ y en azul la media de los dos.
Aquí parece funcionar muy bien, excepto por los picos, deben ser puntos menos líquidos?
Aquí un poco menos.
Aumentar la tasa parece hacer girar la línea en el sentido de las agujas del reloj y disminuirla en sentido contrario. Esto se espera debido a que el collar es lineal. (Call - Put es una función lineal decreciente del strike con coeficiente cercano a -1). He aquí una ilustración del valor de Put - Call para un tenor fijo:
A partir de esto puedo ajustar una regresión lineal y obtener la inclinación $\hat{\beta}$ . La paridad put - call siendo constante a través de las huelgas reescribe a:
$$\exp(r_T\cdot T)(\hat{\beta} k + \alpha) + k = cst,$$
que se cumple para $r_T = -\frac{\ln(-\hat{\beta})}{T}.$
El resultado es un avance "horizontalizado":
Pregunta: ¿es esta tasa "libre de riesgo" $r_T$ Normalmente son coherentes en todo el índice, es decir, ¿puedo utilizar el mismo tipo de interés para una opción de compra de una acción que forme parte del índice?
