¿Pueden derivarse los valores de las opciones Black-Scholes a través del Modelo de Valoración de Activos de Capital? sin recurrir a la utilización de una cartera sin riesgo que se crea a partir de la opción y de una cantidad determinada de Delta del instrumento subyacente?
Desde Preguntas frecuentes sobre finanzas cuantitativas (2009) de Paul Wilmott , p. 416:
Esta derivación, originalmente debida a Cox y Rubinstein (1985) comienza desde el Modelo de valoración de activos de capital en tiempo continuo. En particular, utiliza el resultado de que existe una relación lineal entre el rendimiento esperado de un instrumento financiero y la covarianza del activo con el mercado. Este último término puede considerarse una compensación por la asunción de riesgos.
Pero el activo y su opción están perfectamente correlacionados, por lo que la compensación en exceso de la tasa libre de riesgo por asumir una cantidad unitaria de riesgo debe ser la misma para cada uno.
En el caso de las acciones, la rentabilidad esperada (dividida por $dt$ ) es $\mu$ . Su riesgo es $\sigma$ .
De Ito tenemos $$dV = \frac{\partial V}{\partial t}dt + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial ^2V}{\partial S^2}dt + \frac{\partial V}{\partial S}dS$$ Por lo tanto, la rentabilidad esperada de la opción es $$\frac{1}{V}\left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial ^2V}{\partial S^2} + \mu S \frac{\partial V}{\partial S}\right)$$ y el riesgo es $$\frac{1}{V} \sigma S \frac{\partial V}{\partial S}$$ Dado que tanto el subyacente como la opción deben tener la misma compensación, por encima del tipo libre de riesgo, para el riesgo unitario $$\frac{\mu-r}{\sigma}= \frac{\frac{1}{V}\left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial ^2V}{\partial S^2} + \mu S \frac{\partial V}{\partial S}\right)}{\frac{1}{V} \sigma S \frac{\partial V}{\partial S}}$$ Ahora reordena esto. El $\mu$ y nos quedamos con la ecuación de Black-Scholes.
Esto es inteligente, pero ¿no es circular? Empecemos con el Black-Scholes, hagamos algunos reajustes y luego devolvamos el Black-Scholes.
@DavidAddison: No empezamos con Black-Scholes. La primera ecuación sólo establece cómo el pago de una opción $V$ evoluciona en función de $S$ y $t$ . Debido a la estocasticidad de $S$ tenemos que utilizar el lema de Ito.
Sí, véase la página 16 del siguiente documento:
"Cuatro derivaciones de la fórmula Black-Scholes" (F. Rouah)
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¿Qué es el "valor de la opción Black-Scholes"?
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¿Hay alguna razón por la que hayas publicado exactamente la misma pregunta ( quant.stackexchange.com/questions/35931/ ) que ya tenía una respuesta (que no te importó aceptar)? Este tipo de comportamiento está mal visto aquí.
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@vonjd tienes razón, como que me sonaba, no recordaba que ya lo había contestado...
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La pregunta que hice anteriormente (quant.stackexchange.com/questions/35931/ ) no es un duplicado de esta pregunta. Sí, en esa pregunta pedí una derivación a través del Modelo de Precios de Activos de Capital, pero la pregunta que se hace aquí es la que yo pretendía pero que no expresé correctamente. En la pregunta anterior, no dije que no quería una derivación que dependiera de la cartera sin riesgo. La derivación sin recurrir a este dispositivo ha sido solicitada aquí.