Regla de la cadena para el lema de Ito

Question

El modelo de tipos cortos CIR es $$dr_t=k(\theta-r_t)dt+\sigma\sqrt{r_t}dW_t$$ bajo la medida de riesgo neutral. El precio del bono es de la forma $$P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_t}$$ donde el tipo al contado de capitalización continua es una función afín del tipo a corto plazo $r_t$ . Mi pregunta es, ¿cómo se debe aplicar el Lemma de Ito para encontrar $dP(t,T)$ ?

Aquí está mi intento: $$\ln P(t,T)=\ln A(t,T)-B(t,T)r_t$$ $$d\ln P(t,T)=d\ln A(t,T)-r_tdB(t,T)-B(t,T)dr_t$$ $$(d\ln P(t,T))^2=B(t,T)^2\sigma^2r_tdt$$ \begin{align} d(e^{\ln P(t,T)})&=P(t,T)\bigg(d\ln P(t,T)+\frac{1}{2}(d\ln P(t,T))^2\bigg)\\ &=P(t,T)\bigg(d\ln A(t,T)-r_tdB(t,T)-B(t,T)dr_t+\frac{1}{2}B(t,T)^2\sigma^2r_tdt\bigg)\\ &=\ldots\\ &=r_tP(t,T)dt-B(t,T)P(t,T)\sigma\sqrt{r_t}dW_t \end{align} Aunque he seguido los pasos del Lemma de Ito, parece que me falta un detalle que permitirá que algunos términos se cancelen para producir la línea final. Además las funciones $A(t,T)$ y $B(t,T)$ son bastante complejos y no creo que diferenciarlos sea una buena idea. $$A(t,T)=\bigg[\frac{2h\exp{\{(k+h)(T-t)/2\}}}{2h+(k+h)(\exp{\{(T-t)h\}-1})}\bigg]^{2k\theta/\sigma^2}$$ $$B(t,T)=\frac{2(\exp{\{(T-t)h\}-1)}}{2h+(k+h)(\exp{\{(T-t)h\}-1})}$$ $$h=\sqrt{k^2+2\sigma^2}$$ Fuente: Brigo & Mercurio, Modelos de tipos de interés, 3.2.3

Answer 1

Hay que partir de la expresión original de $P$ :

$$P(t,T) = \mathbb{E}[e^{-\int_t^T r^s ds}|\mathcal{F}_t]$$

Así que si defines :

$$M_t = e^{-\int_0^t r_s ds}P(t,T)$$

esto es una martingala.

Así que ya que estás en una filtración browniana,

$$dM_t = \sigma_t dW_t$$

Queda por encontrar $\sigma_t$ lo que se hará observando que :

$$\sigma^2_t dt = d<M_t> = (e^{-\int_0^t r_s ds})^2 d<P(t,T)>$$

utilizando su expresión de $d<\ln P(t,T)>$ y puesto que $d<P(t,T)>=P(t,T)^2 d<\ln P(t,T)>$ se obtiene (utilizando ese $P(t,T)>0$ )

$$dP(t,T) = r_t P(t,T) dt + P(t,T)\sqrt{\frac{d<\ln P(t,T)>}{dt}}dW_t$$