Estoy buscando ayuda en la comprensión de la derivación algebraica para ir en entre algunas de las líneas en Pat Hagan la famosa Convexidad Enigmas de papel por ejemplo, cómo pasa de 3.4 a 3.5 a.
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Para ser claros, (3.4 c) conduce a (3.5 a) cuando asumimos lognormal $R(\tau)$. Lognormal $R(\tau)$ significa que podemos escribir
$$R(\tau) = R_0 e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 \tau + \sigma \sqrt{\tau} Z}$$
con $Z$ normal, y estoy asumiendo un cero significa-creo que es necesario. Entonces por (3.4 c) tenemos la expectativa de valor:
$$ E\left[(R(\tau) - R_0)^2 \derecho] = (R_0)^2 E\left[(e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 \tau + \sigma \sqrt{\tau} Z} - 1)^2 \derecho] = (R_0)^2 E\left[e^{-\sigma^2 \tau + 2 \sigma \sqrt{\tau} Z} - 2 e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 \tau + \sigma \sqrt{\tau} Z} + 1\right] $$ Ahora, recordemos que: $$E[e^{Z}] =\int_{-\infty}^{\infty} e^{Z} \frac{e^{-Z^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dZ = e^{\frac{a^2}{2} }\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-(Z-a)^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dZ = e^{\frac{a^2}{2} } $$ Así $$ (R_0)^2 E\left[e^{-\sigma^2 \tau + 2 \sigma \sqrt{\tau} Z} - 2 e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 \tau + \sigma \sqrt{\tau} Z} + 1\right] = (R_0)^2 e^{-\sigma^2 \tau +2\sigma^2\tau }- 2 e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 \tau +\frac{1}{2}\sigma^2\tau} +1)=(R_0)^2 e^{\sigma^2 \tau}-1)$$
Esto explica cómo (3.5 a) se sigue de (3.4 c) (usted puede llenar en el resto de los factores de sí mismo).
Cap
A continuación, voy a mirar en (3.4), que, después de asumir lognormality de $R$, los resultados en (3.5 b). La expectativa de valor de interés es
$$E[(R(\tau) − RR_0)[R(\tau) − K]^+] = E[R(\tau) [R(\tau) − K]^+] - R_0 E[[R(\tau) − K]^+]$$
El segundo término es la expresión usual para una opción call, por lo que en el Black scholes marco de este es simplemente dada por
$$R_0 E[[R(\tau) − K]^+] =R_0(R_0 \mathcal{N}(d_{1/2}) - K\mathcal{N}(d_{-1/2}))$$
Ya puedes ver estos términos en la expresión (3.5 b). La otra expectativa de valor es un poco más complicado, como hemos
$$E[R(\tau) [R(\tau) − K]^+] = R_0 E[e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 \tau + \sigma \sqrt{\tau} Z} [R_0e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 \tau + \sigma \sqrt{\tau} Z} − K]^+] $$
Este es de la forma $$ E[ S e^{aZ} [S e^aZ - K]^+] = S\int_{-\infty}^{\infty} e^{Z} [S e^{aZ} - K]^+\frac{e^{-Z^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dZ $$ $$=E^{\frac{a^2}{2}}\int_{-\infty}^{\infty} [S e^{aZ} - K]^+\frac{e^{-(Z-a)^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dZ $$
Lo siguiente que haremos sub $Z\rightarrow W = Z-a$, dando
$$Se^{\frac{a^2}{2}}\int_{-\infty}^{\infty} [S e^{(W+a)} - K]^+\frac{e^{-W^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dW = E^{\frac{a^2}{2}} E[S e^{a^2 + aW} - K]^+]$$
Ahora recuerdo que $a=\sigma\sqrt{\tau}$ y $S=R_0 e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 \tau}$. A continuación, esta expectativa de valor se convierte en
$$ R_0 E[R_0 e^{\frac{1}{2}\sigma^2 \tau + aW} - K]^+] = R_0 E[e^{\sigma^2 \tau} R(\tau) - K]^+]$$
Que fue un gran esfuerzo para demostrar que:
$$E[R(\tau) [R(\tau) − K]^+] = R_0 E[e^{\sigma^2 \tau} R(\tau) - K]^+]$$
proveyó $R(\tau)$ es lognormal con cero significa. El lado derecho es sólo una opción call, pero con tintas igual a $R_0 e^{\sigma^2 \tau}$. Esto le da
$$E[R(\tau) [R(\tau) − K]^+] = (R_0)^2 e^{\sigma^2 \tau}\mathcal{N}(e_{1/2}) - R_0 K\mathcal{N}(e_{-1/2})$$
donde $$ e_{1/2} = \frac{\log(\frac{R_0 e^{\sigma^2 \tau}}{K}) + \frac{1}{2}\sigma^2 \tau}{\sigma \sqrt{\tau}} =\frac{\log(\frac{R_0}{K}) +\frac{3}{2}\sigma^2 \tau}{\sigma \sqrt\tau} = d_{3/2}$$ $$ e_{-1/2}=\frac{\log(\frac{R_0 e^{\sigma^2 \tau}}{K}) -\frac{1}{2}\sigma^2 \tau}{\sigma \sqrt{\tau}} =\frac{\log(\frac{R_0}{K}) +\frac{1}{2}\sigma^2 \tau}{\sigma \sqrt\tau} = d_{1/2}$$
Así:
$$E[R(\tau) [R(\tau) − K]^+] = (R_0)^2 e^{\sigma^2 \tau}\mathcal{N}(d_{3/2}) - R_0 K\mathcal{N}(d_{1/2})$$
Finalmente,
$$\begin{ecuación} E[(R(\tau) − R_0)[R(\tau) − K]^+]= (R_0)^2 e^{\sigma^2 \tau}\mathcal{N}(d_{3/2}) - R_0 K\mathcal{N}(d_{1/2}) - R_0(R_0 \mathcal{N}(d_{1/2}) - K\mathcal{N}(d_{-1/2})) \\ = (R_0)^2 e^{\sigma^2 \tau}\mathcal{N}(d_{3/2}) - R_0(R_0+K)\mathcal{N}(d_{1/2}) + R_0 K\mathcal{N}(d_{-1/2}) \end{ecuación}$$
Este es (parte de) la ecuación (3.5 b). Esto debe convencer de que (3.5 b) se sigue de (3.4).
Piso
Te dejo esta.
