¿Cuáles son los supuestos de la primera etapa de la Fama-MacBeth (1973)?

Question

De acuerdo con el CAPM, el retorno esperado del activo $i$ es:

$E(Z_i) = \beta_{im} E(Z_m)$

donde $Z_m$ es el exceso de rentabilidad de la cartera de mercado, y $Z_i$ es el exceso de rentabilidad de los activos $i$ más libre de riesgo de los activos.

Fama-Macbeth (1973) proponer a la primera estimación de $\beta$'s el uso de una serie temporal de regresión. Pero, no se observa la $E(Z_i)$ y $E(Z_m)$. Por lo sustituimos por el se dio cuenta de contrapartes, y la estimación de

$Z_{i,t} = \alpha + \beta_{i} Z_{m,t} + \epsilon_{i,t}$

Entiendo que si sustituimos $E(Z_i)$ con $Z_i$, los parámetros estimados son todavía imparcial (error de medición no es un problema). Sin embargo, si sustituimos $E(Z_m)$ con $Z_m$, los parámetros estimados son, en general, sesgada.

¿Cuáles son las suposiciones detrás de la primera'step de regresión? Cualquier referencia?

Answer 1

El CAPM es una teoría económica que los rendimientos esperados en exceso de la tasa libre de riesgo debe ser lineal en la regresión beta en el mercado.

$$ \operatorname{E}[R_i - R^f] = \beta_i \operatorname{E}[R^m - R^f]$$

Gráficamente, se parecería a esto:

Como el mercado de beta aumenta, se espera aumento de rendimientos.

Prueba el CAPM con una sección transversal de regresión

Conceptualmente, lo que Fama y Macbeth quería hacer era:

1. Para cada cartera $i=1, \ldots, n$, ejecutar una serie de tiempo de regresión para obtener la información de mercado beta $\beta_i$.
2. Prueba el CAPM con una sección transversal de regresión de $\operatorname{E}[R_i - R^f]$ en $\beta_i$ utilizando el $$ n de valores. Es decir, realizar la regresión:

$$ \bar{R_i} - R^f = \gamma_0 + \gamma_1 \beta_i + \epsilon_i$$

Si estás estadístico/econometra, te das cuenta de que, ingenuamente, la ejecución de la regresión tendrá un ENORME problema con inconsistente estándar de errores, debido a que los retornos son cruzado de correlacionada!

Un enfoque moderno de manera consistente la estimación de los errores estándar puede ejecutar el siguiente panel de regresión y el clúster de tiempo $t$:

$$ R_{it} - R^f_t = \gamma_0 + \gamma_1 \beta_i + \epsilon_{es}$$

Qué Fama y Macbeth hizo en la década de 1970 fue desarrollar una interfaz intuitiva procedimiento para estimar los errores estándar consistentes en la presencia de la sección transversal de la correlación. Para cada período de tiempo $t$, corrieron de la sección transversal de regresión:

$$ R_{it} - R^f_t = \gamma_{0,t} + \gamma_{1,t} \beta_i + \epsilon_{es}$$

Se asumió entonces cada período de tiempo independiente (muy razonable) por lo tanto $\gamma_{1,t}$ y $\gamma_{0,t}$ son un ALCOHOLÍMETRO de la serie de tiempo, por lo que usted puede tomar de series de tiempo de los promedios y calcular los errores estándar habitual en las Estadísticas de 1 vía.

$$\hat{\gamma}_1 = \frac{1}{T} \sum_t \hat{\gamma}_{1,t} \quad \quad \hat{\operatorname{Var}}(\gamma_1) = \frac{1}{T-1} \sum_t (\gamma_{1,t} - \hat{\gamma_1})^2$$

etc...

Supuestos de la primera etapa?

Si por "primera etapa" se refiere al tiempo de la serie de regresión:

$$ R_{it} - R^f_t = \alpha_i + \beta_i \left( R^m_t - R^f_t \derecho) + \epsilon_{es} $$

El clásico de los supuestos empleados por Fama se que cada período de tiempo es independiente y que el conjunto de distribución de los rendimientos es normal multivariante, lo que hace la regresión de los rendimientos de los devuelve un bien especificado de regresión.

Usted puede relajarse en estos supuestos, si usted confía en asintóticos. Deje que $\mathbf{x}_t = \begin{bmatrix}1 \\ R^m_t - R^f_t \end{bmatrix}$ y $y_t = R_t - R^f_t$. Siguiente Hayashi, la Econometría (p. 133), la hipótesis sería: (2.1.) linealidad: $y_t = \mathbf{x}_t \cdot \boldsymbol{\beta} + \epsilon_t$, (2.2) ergodic la estacionariedad de $(y_t, \mathbf{x}_t)$ (2.3) predeterminado regresores (es decir regresores ortogonales contemporáneas término de error), (2.4) $\operatorname{E}[\mathbf{x} \mathbf{x}']$ es de rango completo, y (2.5) $\mathbf{x}_t \epsilon_t$ es una martingala diferencia de la secuencia.

Referencias

Hayashi, Fumio, Econometría, 2000, Princeton University Press

Answer 2

Se puede, en mi opinión, ser declaró que su comprensión de la situación es exactamente al revés. El CAPM el modelo debe ser declarado como

$$ \etiqueta{modelo CAPM} r_s = r_f + \beta_s (r_m - r_f) + \epsilon $$

donde $r_f$ es una constante (o al menos independiente) tasa libre de riesgo $r_s$ es la variable dependiente, el retorno de las acciones, y $r_m$ es la variable aleatoria que representa el retorno en el mercado y $\epsilon$ es la idiosincrasia de los componentes de riesgo también una variable aleatoria.

Ahora bien, teniendo expectativas en ambos lados y volver a mezclar términos obtenemos

$$\begin{align} \etiqueta{CAPM expectativa} E(r_s) &= r_f + \beta_sE(r_m - r_f) + E(\epsilon)\\ \implica E(r_s) - r_f &= \beta_sE(r_m - r_f) + \alpha \end{align}$$

Una simple prueba de t en la media se puede hacer en los residuos después de la estimación del modelo para ver si $\alpha$ es estadísticamente significativamente diferente de cero o no. La mayoría de los paquetes va a hacer esto para usted si usted estimar una intercepción como parte de su regresión.

A mí me parece que su principal es la confusión acerca de cómo vamos a partir del modelo CAPM arriba a la regresión. Observamos independiente e idénticamente distribuidas de la muestra de $r_s(t_i)$ y $r_m(t_i)$. En este modelo $r_f$ es normalmente una constante que también es medible (observable). Ahora estimado de $\hat\beta_s$ utilizando el estimador de máxima verosimilitud e implican la observables riesgo idiosincrático $\epsilon(t)$ resolviendo para $\epsilon$ en el modelo CAPM fórmula y conectar en nuestra muestra los vectores.