Beta entre acciones y opciones

Question

En el modelo de Black Scholes me gustaría calcular $$ \beta_K = \frac{\mathrm{cov}(C_{K,T},S_T)}{\mathrm{cov}(S_T,S_T)} = \frac{\mathrm{cov}((S_T - K)^+,S_T)}{\mathrm{cov}(S_T,S_T)} $$ con respecto a una medida de riesgo neutral. Aquí $C_{K,T}$ es el pago de la opción de compra con vencimiento $T$ y la huelga $K$ al vencimiento, y $S_T$ es el precio del subyacente al vencimiento. Por supuesto, todo esto se puede calcular simplemente utilizando la distribución log-normal de $S_T$ Sin embargo, me pregunto si hay algún truco para calcularlo de forma más rápida.

Motivación: Me gustaría saber qué $\beta_K = \Delta$ minimiza la varianza de $C - \Delta S$ . Es decir, si no se puede cubrir dinámicamente, sino sólo una vez, ¿se elegiría el delta BS, o si va a ser otra cosa.

Answer 1

Para las distribuciones terminales, no tengo la solución de forma cerrada a mano, pero es computable, ya que podemos poner precio a las opciones de potencia (con pagos como $(S_T^n-K)^+$ ). Es necesario encontrar

$$ E[S_T C_{K,T}] = \int_K^\infty x(x-K) \cdot p_{BS}(x) dx \\=-Ke^{(r-q)T} C_{K,T} + \int_K^\infty x^2 \cdot p_{BS}(x) dx $$

Esta última fórmula no es más que el precio de una opción de potencia, que es un problema habitual de los deberes cuya solución se puede encontrar en muchos lugares, entre ellos este documento .

Si un tratamiento instantáneo es suficiente, entonces sólo hay que conocer la volatilidad instantánea $\omega$ de una opción $C$ para calcular esto. Si estás dispuesto a creer a Black-Scholes, puedes aplicar el Lemma de Ito para encontrar que

$$ C \cdot \omega = \Delta \cdot S \cdot \sigma_S $$

Editar: añadido las integrales de distribución terminal y los comentarios sobre la instantánea frente a la terminal