¿Es la función de utilidad Cobb-Douglas localmente no saturada en (0,0)?

Question

Entiendo que la no saturación local es que el aumento de la asignación de un bien en una cantidad marginal aumenta la utilidad. Supongamos que su utilidad tiene la siguiente forma: $$U(x,y)=x^\alpha y^\beta$$ y su dotación inicial es $(0,0)$ . Ahora bien, si usted aumenta cualquiera de los dos bienes sin aumentar el otro, su utilidad no aumenta. ¿Significa esto que su utilidad no es localmente no saturada?

Answer 1

No.

La utilidad Cobb-Douglas es monótona y la monotonicidad implica L.N.S.

La cuestión aquí es que sólo estás considerando los casos límite. Has razonado correctamente que los puntos de borde no son más deseables que el origen. Sin embargo, LNS simplemente afirma que existe un paquete más deseable dentro de la bola epsilon abierta de su asignación considerada (y esto es cierto para todas las asignaciones). Así que, dado cualquier épsilon, una bola épsilon abierta centrada en el origen contendrá necesariamente una asignación en la que ambos elementos sean estrictamente positivos.

Para ver esto, elige un épsilon y dibuja la bola del épsilon alrededor del origen. Debería ser bastante obvio lo que está pasando.

Espero que eso ayude.

Answer 2

La secuencia de paquetes $\big\{\frac{1}{n}\frac{1}{n}\big\}_{n\in\mathbb{N}}$ convergen a $(0,0)$ y cada haz de la seuqencia es estrictamente preferible a $(0,0)$ .