La Elección óptima de exceso de tiempo

Question

Supongamos que usted es titular de una cuota de la empresa a $Z$ cuya vaue en vez de $t$ es $S_0+\sigma B_t$ donde $B_t$ es el Movimiento Browniano y $\sigma$ denota cierto grado de volatilidad. Ahora supongamos que la empresa a $Z$ puede ir a la quiebra en algunos expoentially distribuidos al azar variabl $T$, con una media de $1/\lambda$. Ahora usted planea vender su participación en la primera hora $H$ de que el precio supera los $un$, yo.e $H=\inf\{t: S_0+\sigma B_t>a\}$. Si $H<T$ el vaue de usted es $a\exp(-rH)$, de lo contrario no vale de nada.

¿Tiene usted alguna idea de cómo puedo derivar la elección óptima de $un$ ?

Mi manera intuitiva para resolver este ejercicio es comprobar primero ¿cuál es la probabilidad de que $H<T$, yo.e $P(H<T)$ Ahora creo que puede utilizar el Principio de Reflejo, así que definen $S_t=\sup (S_0+\sigma B_t)$, entonces el Principio de que los estados que $P(S_T>a)=P(H<T)$. Creo que la solución al problema es encontrar el máximo de $a$ que $P(S_T>a)$, pero no sé cómo calcular $P(S_T>a)$.

Answer 1

Ha sido bastante tiempo desde que hice esto, pero voy a añadir mi entrada. Por favor me corrigen si es apropiado.

$\{H < T\} = \{ \sup_{0\leq s \leq T} (S_{0} + \sigma B_{s}) > a \} = \{\sup_{0 \leq s \leq T} B_s > \frac{a-S_0}{\sigma}\}$.

Conjunto $\mu := \frac{a-S_0}{\sigma}$ y $M_{T} := \sup_{0 \leq s \leq T} B_{s}$.

Entonces, $P(\{H < T\} = P(\{M_T > \mu \}) = 2\left(1 - \Phi\left(\frac{\mu}{\sqrt{T}}\right)\right)$.

Buscan maximizar $V(a) := E\{ae^{rH}1_{\{H < T\}}\} = a \int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x} \int_{0}^{x}e^{-r} \frac{d}{d\xi}\left(2 \Phi\left(\frac{\mu}{\sqrt{\xi}}\derecho)-1\derecho)(y) \, y \, dx$.