Suponga que se tienen dos poblaciones de $S$ y $P$ de modo que en el momento inicial de $t = 0$: $S_0 > P_0$.
Usted compró una opción que paga $S_T - P_T$ mientras $S_t > P_t$ a través del tiempo $0 < t < T$.
¿Cuál sería el precio de la opción de ser?
*Estoy buscando un no-arbitraje argumento de evitar cualquier distribución específica supuestos (log-normal, normal, etc) si es posible.
He resuelto de la siguiente manera, sólo quiero asegurarme de que no estoy perdiendo algo obvio.
Establecer una cartera de $PF$ que consta de largo $S$ y corto $P$ en vez de $t = 0$. Elegir tiempo arbitrario $0 < t < T$. Si $S_t > P_t$ entonces $PF_t = S_t - P_t$ que coincide con el valor de la opción. Si $S_t$ llega a $P_t$ de arriba, a continuación, disolver la cartera por venta de $S$ y compra de $P$. De nuevo, tanto la cartera de $PF$ y la opción de tener el mismo valor 0 en este caso.
Así que tenemos un auto-financiación de la cartera que tiene la misma rentabilidad en el tiempo $T$ como opción. Por lo que el valor de la opción en $t=0$ debe ser el mismo que el valor de la cartera en la ausencia de arbitraje, es decir, el valor de la opción es de $S_0 - P_0$.
La opción de pago al vencimiento $T$ es definido por \begin{align*} (S_T-P_T)1_{\left(\inf_{0 \le t <T}\frac{S_t}{P_t}\derecho) > 1}. \end{align*} Deje que $Q$ es el riesgo-neutral probabilidad de medir y $E$ la correspondiente expectativa de operador. Vamos a $Q_p$ ser una medida de probabilidad definida por \begin{align*} \frac{dQ_p}{dQ}\big|_t = \frac{P_t}{e^{rt} P_0}. \end{align*} Por otra parte, vamos $E_p$ la correspondiente expectativa de operador. A continuación, el valor de la opción puede ser calculado por el \begin{align*} e^{-rT}E\left((S_T-P_T)1_{\left(\inf_{0 \le t <T}\frac{S_t}{P_t}\derecho) > 1} \derecho) &= e^{-rT}E_p\left(\left(\frac{dQ_p}{dQ}\big|_T\derecho)^{-1}(S_T-P_T)1_{\left(\inf_{0 \le t <T}\frac{S_t}{P_t}\derecho) > 1} \derecho)\\ &=P_0 E_p\left(\left(\frac{S_T}{P_T}-1\derecho)1_{\left(\inf_{0 \le t <T}\frac{S_t}{P_t}\derecho) > 1} \derecho), \end{align*} la cual puede ser tratada como una abajo y hacia fuera de la barrera de la llamada opción, suponiendo que $S_t/P_t$ es registro-normalmente distribuida en virtud de la medida $Q_p$.
Tenga en cuenta que, por debajo de los $Q_p$, el proceso de $\{S_t/P_t \mediados de los t \geq 0\}$ es una martingala, es decir, podemos tratar $S_t/P_t$ como un activo proceso con interés cero y cero en el dividendo. El uso de la hacia abajo y hacia afuera de la barrera opción de la llamada fórmula de John Hull, obtenemos que \begin{align*} E_p\left(\left(\frac{S_T}{P_T}-1\derecho)1_{\left(\inf_{0 \le t <T}\frac{S_t}{P_t}\derecho) > 1} \right) = \frac{S_0}{P_0}-1. \end{align*} Es decir, el precio de la opción es de $S_0-P_0$.
La opción de pago es equivalente a $Z_{\tau \wedge T}-1$, donde $\tau=\inf\{t | Z_t = 1\}$, siempre que $Z_t$ se supone que ser continua. Desde $Z_t=S_t/P_t$ es una martingala bajo $Q_P$ tenemos $E_P[Z_{\tau \wedge T}]=Z_0$ y el valor de la opción es de $P_0 (Z_0 - 1)=S_0-P_0$ sin importar el modelo.
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