¿Cómo puedo calcular el promedio del consumo en un RBC marco?

Question

En la siguiente economía abierta RBC modelo de nivel de consumo ($C_t$) no es el más importante para el representante de los hogares, pero la diferencia de que el nivel de consumo y el nivel anterior a la de la media de consumo ($\overline{C_{t-1}}$): $$H_t=C_t-b \overline{C_{t-1}}$$ $$0<b<1$$

El consumidor de la función de utilidad: $$E_0 \sum\limits_{t=1}^{\infty}\beta^{t-1}\left( \frac{H_t^{1-\sigma}}{1-\sigma}+\frac{L_t^{1+\eta}}{1+\eta}\right)$$

Después de resolver el Problema de Maximización de Utilidad, derivados de las Condiciones de Primer Orden, que aquí es el de Euler-ecuación: $$\beta E_t \left(\frac{C_{t+1}-b \overline{C_{t}}}{C_t-b \overline{C_{t-1}}}\right)^{-\sigma}(1+r_t)=1$$

Pregunta: tengo ni idea de qué debía hacer con el promedio del consumo ($\overline{C_{t}}$) plazo. ¿Cómo puedo calcular con esto? Necesito encontrar el estado estacionario, y hacer el log-linealización, pero no entiendo la sustancia de esta variable.

Answer 1

Considere la posibilidad de la libre de riesgo del estado estacionario. En esa situación, el de Euler, ecuación se convierte en:

$$ \left(\frac{C_{t+1}-b \overline{C_{t}}}{C_t-b \overline{C_{t-1}}}\right)^{-\sigma}=\frac{1}{\beta \cdot (1+r)}$$

Lo que implica

$$ \Rightarrow \ln[C_{t+1}-b \overline{C_{t}}] -\ln[C_t-b \overline{C_{t-1}}] = \frac{\ln[\beta] + \ln[1+r]}{\sigma}$$

Suponer que en el no-estocásticos establecer que el crecimiento constante de la forma: $$ C_{t+1} = \gamma \cdot C_{t}$$

Tenga en cuenta que, por definición, $$ \overline{C_{t}} \equiv \frac{1}{t}\sum^t_{\tau=1} C_{\tau}$$ Bajo un ritmo de crecimiento constante $$ \Rightarrow \overline{C_{t}}=\frac{1}{t}\sum^t_{\tau=1} \gamma^{\tau-t}C_{t} = \frac{C_t}{t} (1+\frac{1}{\gamma-1}) = \frac{C_t}{t} (\frac{\gamma}{\gamma-1})$$ $$ \Rightarrow \overline{C_{t+1}}= \frac{C_{t+1}}{t} (\frac{\gamma}{\gamma-1}) = \gamma \frac{C_{t}}{t} (\frac{\gamma}{\gamma-1}) = \gamma \overline{C_{t}}$$

$$ \Rightarrow \frac{\ln[\beta] + \ln[1+r]}{\sigma} = \ln[C_{t+1}-b \overline{C_{t}}] -\ln[C_t-b \overline{C_{t-1}}] $$ $$ = \ln[\gamma C_{t}-b \gamma \overline{C_{t-1}}] -\ln[C_t-b \overline{C_{t-1}}] = \ln[\gamma]$$

Por lo tanto, el período de la tasa de crecimiento en el consumo ($\gamma$) en el no-modelo estocástico es $$ \gamma = e^{\frac{\ln[\beta] + \ln[1+r]}{\sigma}} = [\beta(1+r)]^\sigma$$