La comprensión de los condicionantes en un proceso GARCH

Question

En un modelo GARCH como la siguiente

$$y_t=\sigma_tz_t,\\ \sigma_t^2=\omega(1-\alpha\beta)+\alpha y_{t-1}^2+\beta \sigma_{t-1}^2$$ donde $z_t$ se supone que para ser iidN(0,1), se dice que el condicional en la información del pasado $y_t$ ha la densidad gaussiana $$f(y_t|y_{t-1},\sigma_{t-1}^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_t}}exp\left(\frac{1}{2\sigma^2_t}y_t^2\right)$$ Estoy en lo cierto en lo siguiente conclusión?

• Así que cuando acondicionado en el pasado, sabemos cuál es el valor de $\sigma^2_t$ es. En consecuencia, podemos afirmar que $y_t$ condicionalmente es normalmente distribuida como $N(0,\omega(1-\alpha\beta)+\alpha y_{t-1}^2+\beta \sigma_{t-1}^2)$.

Answer 1

$$ E\left[ {{y_t}|{{\cal F}_{t - 1}}} \right] = E\left[ {{\sigma _t}{z_t}|{{\cal F}_{t - 1}}} \right] = {\sigma _t}E\left[ {{z_t}} \right] = 0 $$

$$ {\mathop{\rm var}} \left[ {{y_t}|{{\cal F}_{t - 1}}} \right] = {\mathop{\rm var}} \left[ {{\sigma _t}{z_t}|{{\cal F}_{t - 1}}} \right] = \sigma _t^2{\mathop{\rm var}} \left[ {{z_t}} \right] = \sigma _t^2 $$

$$ {y_t}|{{\cal F}_{t - 1}} \sim {\cal N}\left( {0,\sigma _t^2} \right) $$

Así que usted es derecho en su conclusión. Incondicional de la varianza es una constante $$ E\left[ {y_t^2} \right] = E\left[ {E\left[ {y_t^2|{{\cal F}_{t - 1}}} \right]} \derecho] = E\left[ {\sigma _t^2} \right] = {\sigma ^2} \\ {\sigma ^2} = \omega \left( {1 - \alpha \beta } \derecho) + \alpha {y ^2} + \beta {\sigma ^2}\\ {\sigma ^2} = \frac{{\omega \left( {1 - \alpha \beta } \right)}}{{1 - \left( {\alpha + \beta } \right)}} $$

Answer 2

Usted puede utilizar el resultado conocido, que cuando $X\sim N(0,1)$, entonces $aX\sim N(0,a^2)$ donde $a=\sigma_t$ condicionalmente es constante.