La isometría de Ito y la covarianza de un proceso de Ito

Question

Sea $(B_t)_{t \geq 0}$ y $(W_t)_{t \geq 0}$ dos movimientos brownianos independientes y sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función determinística del tiempo. Definimos el siguiente proceso: \begin{equation} X_t = \int_0^t \frac{1}{\sqrt{1 + f(u)^2}} dB_u + \int_0^t \frac{f(u)}{\sqrt{1 + f(u)^2}} dW_u. \end{equation}

Queremos demostrar que

1. $\forall s,t \geq 0 \; X_{t+s} - X_t \sim N(0,s)$;
2. $\forall s,t \geq 0 \; E(X_t) = 0 \text{ y } Cov(X_t, X_s) = min \{ s,t \}$.

Respecto a (2), las integrales de Ito tienen una expectativa nula, por lo tanto, $E(X_t) = 0$ debe ser verdadero. Ahora, sin pérdida de generalidad, asumamos $s < t$

\begin{align} COV(X_t, X_s) = \int_0^t \frac{1}{\sqrt{1 + f(u)^2}} \frac{1}{\sqrt{1 + f(u)^2}} \mathbb{I}(u \leq s) du \; + \\ \int_0^t \frac{f(u)}{\sqrt{1 + f(u)^2}} \frac{f(u)}{\sqrt{1 + f(u)^2}} \mathbb{I}(u \leq s) du + \\ \int_0^t \frac{2}{\sqrt{1 + f(u)^2}} \frac{f(u)}{\sqrt{1 + f(u)^2}} \mathbb{I}(u \leq s) du \\ COV(X_t, X_s) = \int_0^s \frac{1 + f(u)^2 + 2f(u)}{1 + f(u)^2} du = \int_0^s du + 2 \int_0^s \frac{f(u)}{1 + f(u)^2}du \end{align} Claramente hice algo mal, pero no veo dónde. Parece que apliqué correctamente la isometría de Ito aquí. ¿Alguien ve el problema?

Answer 1

Recuerde que para cualquier función determinística $g$, la integral de Ito sigue una distribución normal: $$\int_0^t g(u) dW_u \sim N\left(0,\int_0^t g^2(u) du\right).$$ Por lo tanto, dado que $$X_{t+s} - X_t = \int_t^{t+s} \frac{1}{\sqrt{1 + f(u)^2}} dB_u + \int_t^{t+s} \frac{f(u)}{\sqrt{1 + f(u)^2}} dW_u$$, cada integral sigue una distribución normal y son independientes, por lo que $X_{t+s}-X_t$ sigue una distribución normal con media $0$ y varianza $$\mathbb{E}\left( \int_t^{t+s} \frac{1}{\sqrt{1 + f(u)^2}} dB_u \right)^2 + \mathbb{E}\left( \int_t^{t+s} \frac{f(u)}{\sqrt{1 + f(u)^2}} dW_u \right)^2 = \mathbb{E}\left( \int_t^{t+s}du \right) = s.$$