Teoremas de separación y de hiperplano de soporte

Question

Tengo problemas para entender los teoremas del hiperplano de separación y de soporte. He leído lo que he podido en línea, pero simplemente no puedo desarrollar ninguna intuición. ¿Alguien podría darme un esquema básico de estos teoremas utilizando un contexto económico? Cualquier interpretación gráfica sería extremadamente útil.

Answer 1

Buscaré una solución para su pregunta sobre el teorema del hiperplano separador junto con una aplicación económica a la teoría de productores (para más detalles, consulte MWG).

Teorema: Supongamos que $B \subset \mathbb{R}^N$ es convexo y cerrado y que $x \notin B$. Entonces existe un $p \in \mathbb{R}^N$ con $p \neq 0 $ y un valor $c \in \mathbb{R}$ tal que $px>c$ y $py < c$ para todo $y \in B

Aplicación (Teoría de productores): Supongamos que el conjunto de producción $Y$ es cerrado y convexo. Entonces toda producción eficiente $y \in Y$ es una producción que maximiza las ganancias para algún vector de precios distinto de cero $p \geq 0$.

Esquema de la prueba: Comenzamos con un $y$ eficiente y definimos $P_y$ como el conjunto "mejor que" con respecto a $y$. Este conjunto es claramente convexo (tomemos $y', y'' \in P_y$ y su combinación convexa claramente está "dentro de él"). Luego nos damos cuenta de que ya que $y$ es eficiente, $P_y \cup Y = \emptyset$. Ahora tenemos todos los ingredientes para aplicar nuestro teorema anterior, y en particular $\exists p \neq 0$ tal que $p y' \geq py'''$ $\forall$ $y' \in P_y$ y $\forall$ $y''' \in Y$. Debido a que $y'$ puede elegirse arbitrariamente cerca de $y$ (recuerde que $y' \in P_y$) podemos mostrar directamente que $y$ maximiza las ganancias para $p$.

Otras "aplicaciones famosas" que pueden ser de interés son:

1) El "Segundo teorema fundamental de la economía del bienestar

2) El enfoque del punto silla para la programación dinámica desarrollado por Karlin y Uzawa.