CRRA Ultility， simple pregunta

Question

para CRRA, ¿ el aumento de gamma conduce a un aumento en la aversión al riesgo?

Buscando en la curva, creo que el aumento de gamma lleva a una menor en la aversión al riesgo (ya que el riesgo preimum es menos). Pero en términos de absoluta aversión al riesgo, CRRA = $\gamma /X$. Se ve como el aumento de $\gamma $ conlleva a una alta aversión al riesgo. Que es derecho?

Answer 1

Si la función de utilidad de $W \mapsto U(W)$ (donde $W$ es la riqueza) es cóncava, entonces el individuo es de aversión al riesgo y no está dispuesta a aceptar cualquier actuariually feria de jugar.

Podemos distinguir entre la absoluta aversión al riesgo ($ARA$) y el riesgo relativo de aversión ($RRA$)

$$ARA(W) = - \frac{U"(W)}{U'(W)},\quad RRA(W) = - W\frac{U"(W)}{U'(W)}$$

Aquí, $ARA(W)$ determina la absoluta cantidad que el individuo está dispuesto a pagar para evitar un riesgo de un determinado tamaño absoluto. Del mismo modo, $RRA(W)$ determina la relación cantidad, es decir, la fracción de la riqueza, el individuo está dispuesto a pagar para evitar un riesgo de un determinado tamaño en relación a la riqueza. Una derivación para $ARA$ se da aquí y es fácilmente modificado para $RRA$ mediante la sustitución de $\epsilon$ y $\delta$ con $\epsilon/W$ y $\delta/W$, respectivamente.

Como era de esperar, un $CRRA$ función de utilidad tiene la constante relativa de la aversión al riesgo de los $\gamma$,

$$RRA(W) = -W \frac{U"(W)}{U'(W)} = - W \frac{d}{ps} \log U'(W) = \gamma$$

Sin pérdida de generalidad, en los términos de las constantes, podemos resolver para $U$ como

$$U(W) = \frac{W^{1-\gamma}-1}{1-\gamma}$$

Para garantizar la concavidad (aversión al riesgo) debemos tener $\gamma > 0$. El caso donde $\gamma = 0$ corresponde a un lineal de la función de utilidad (riesgo la neutralidad), y en el límite de $\gamma \a 1$ tenemos , por la regla de L'Hospital,

$$\lim_{\gamma \1}U(W) = \log W$$

Con $\gamma$ fija la fracción de la riqueza que el individuo paga para evitar que juego es, por supuesto, independiente de la riqueza, ya que este es de $CRRA$. Sin embargo, la fracción de la riqueza pagado aumentaría como $\gamma$ aumenta.

Sin embargo, desde $ARA(W) = RD(W)/W$, la cantidad absoluta pagado disminuye con el aumento de la riqueza.