Descomposición de un funcional aditivo en una parte Martingale y otra

Question

Esta pregunta está relacionada con un teorema sobre la descomposición de las funciones aditivas, una técnica especialmente útil en macroeconomía y finanzas. Esta pregunta tiene dos objetivos. En primer lugar, no tengo una referencia al teorema que muestra cuando esto es posible, y me gustaría encontrarlo. En segundo lugar, me gustaría saber cómo encontrar realmente esta descomposición.

Consideremos el siguiente modelo autorregresivo: $$ X_{t+1} = \alpha_0 + \beta_0 (X_t - \alpha_0) + W_{t+1}, $$ donde $-1 < \beta_0 < 1$ y $W_{t+1}$ se distribuye como una normal con media cero y varianza uno. Ahora, consideremos el funcional aditivo $$ Y_t = \sum_{j=1}^t X_j. $$ ¿Cómo podría producir la descomposición de la forma $$ Y_t = r_1 t + M_t - r_2 (X_t - X_0) $$ donde $\{M_t \}$ es una Martingala? (¿Cómo se pueden obtener los valores $r_1$ , $r_2$ y $M_t - M_{t-1}$ ?)

Answer 1

Utilizando las fórmulas dadas (insertando la expresión para el $X$ en la suma), llegamos a

$$Y_t = (1-\beta_0)\alpha_0\cdot t + \beta_0\sum_{j=0}^{t-1}X_j +\sum_{j=1}^{t}W_j $$

No necesitamos un teorema para obtenerlo, dada la descripción del problema.

Manipulando,

$$Y_t= (1-\beta_0)\alpha_0\cdot t - \beta_0(X_t-X_0) + \beta_0Y_{t} +\sum_{j=1}^{t}W_j$$

$$\implies Y_t = \alpha_0t +\frac{1}{1-\beta_0}\sum_{j=1}^{t}W_j-\frac{\beta_0}{1-\beta_0}(X_t-X_0)$$

y queremos que coincida con

$$Y_t = r_1 t + M_t - r_2 (X_t - X_0)$$

Inmediatamente entendemos que debemos tener $r_1 = \alpha_0$ , $r_2 = \beta_0/(1-\beta_0)$ y $$M_t = \frac{1}{1-\beta_0}\sum_{j=1}^{t}W_j$$

Es $M_t$ como se obtiene una martingala? Tenemos

$$E[M_t\mid \sigma(t-1,t-2,..)] = \\=\frac{1}{1-\beta_0}E[W_t\mid \sigma(t-1,t-2,..)] + \frac{1}{1-\beta_0}\sum_{j=1}^{t-1}W_j$$

$$= \frac{1}{1-\beta_0}E[W_t\mid \sigma(t-1,t-2,..)] + M_{t-1}$$

Así que si $E[W_t\mid \sigma(t-1,t-2,..)] = 0$ es decir, si la perturbación original es independiente de la media del pasado (en un término más elegante, si $\{W_t\}$ es una "diferencia de Martingala"), entonces $M_t$ es una martingala y tenemos nuestro mapeo.

Answer 2

Por lo general, Funcionalidades aditivas se definen para procesos de Markov (fuertes) con trayectorias muestrales continuas (difusiones), pero supongo que tienes una serie temporal de Markov---AR(1)--- y $\{ Y_t \}$ es efectivamente aditivo. Así que, en su caso,

$$ X_t = a_0 + a_1 X_{t-1} + W_t, $$

y te gustaría

\begin{align*} Y_t - Y_{t-1} &= r_1 + (M_t - M_{t-1}) + r_2 (X_t - X_{t-1}) \\ &= a_0 + W_t + a_1 X_{t-1}. \end{align*}

Si existe tal descomposición, entonces el condicionamiento de $\sigma(X_1,...X_{t-1})$ da las condiciones necesarias

\begin{align*} r_1 + r_2 (a_0 + (a_1 -1) X_{t-1}) &= a_0 + a_1 X_{t-1} \\ \end{align*}

con soluciones \begin{align*} r_1 = (1-\frac{a_1}{a_1 -1})a_0, \;r_2 = \frac{a_1}{a_1 -1}. \end{align*}

Se puede entonces sustituir $(r_1, r_2)$ en

$$ a_0 + W_t + a_1 X_{t-1} - r_1 - r_2 (X_t - X_{t-1}) $$

y comprobar que da una secuencia de diferencia martingala $\frac{-1}{a_1 -1} W_t$ .