Modelo Black-Scholes para carteras

Question

Dado Black y Scholes modelo, considere la posibilidad de la cartera de $a_t$ = 1/2, $b_t$ = $1/2$$S_t$ $exp(-rt)$.

1. Mostrar que esta cartera replica de una acción.
2. Mostrar si es auto-financiación.
3. Encontrar otra cartera que es de autofinanciación y de repeticiones de una acción.

Mi Intento:

Estoy bastante seguro de que para T1, necesito mostrar que este es un arbitraje libre de la cartera, mostrando a $C_t$ = $V_t$, y no $C_t$ > $V_t$ o $C_t$ < $V_t$ con $V_t$ = $a_t$$S_t$+$b_t$$ß_t$. Sin embargo no estoy del todo seguro de cómo encontrar $C_t$.

Para La Q2. Creo que necesito mostrar que $dV_t$ = $a_tdS_t+b_tdß_t$ pero no estoy seguro de cómo hacer exactamente eso.

No tengo idea de cómo intento de la Q3.

Answer 1

Para determinar si se trata de auto-financiación, debemos mostrar si la ecuación \begin{align*} dV_t = a_t dS_t+b_t d\beta_t \end{align*} sostiene. Tenga en cuenta que \begin{align*} V_t &= a_t S_t + b_t \beta_t\\ &=\frac{1}{2} S_t + \frac{1}{2} S_t e^{-rt} e^{rt}\\ &=S_t. \end{align*} Entonces \begin{align*} dV_t = dS_t. \end{align*} Por otro lado, \begin{align*} a_t dS_t + b_t d\beta_t &=\frac{1}{2}dS_t + \frac{1}{2}S_t e^{-rt} \big(re^{rt}\big)dt\\ &=\frac{1}{2}dS_t + \frac{1}{2}rS_t dt\\ &\neq dS_t. \end{align*} Por lo tanto, esto no es un auto-financiación de la cartera.

Para encontrar otro auto-financiación de la cartera que replica una acción de la bolsa de valores, simplemente podemos establecer $a_t=1$ y $b_t=0$.