por qué se nos caiga el último término en la Barone-Adesi Whaley fórmula

Question

En este trabajo Eficiente de la Analítica de Aproximación de los Valores de la Opción Americana

en varias de las primeras líneas de la página 306, el autor abandonó el último término en la ecuación 11, explicó que cuando $T\to 0$ tenemos $f_K\to 0$, pero no sé por qué.

¿Alguien puede explicarlo?

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$\epsilon$ es el ejercicio anticipado de la prima, y $T$ es el momento de la madurez. Definir $K(T):=1-e^{-rT}$

escribe $\epsilon$ como $\epsilon(S,K)=K(T)f(S,K)$

la ecuación 11 es $$S^2f_{SS}+NSf_S-(M/K)f-(1-K)Mf_K=0$$

Answer 1

A continuación es una mano-ondulado camino para llegar al resultado anterior. Sospecho que hay una forma más elegante de mostrar que si.

El ejercicio anticipado de la prima se define como la diferencia entre el Americano y el Europeo opción de precios $$\epsilon(S,T) := C(S,T)-c(S,T) \tag{0}$$ En el papel es más reescribirse como $$\epsilon(S,T) = K(T) f(S,K(T)) = \epsilon^*(S,K(T)) \etiqueta{1}$$ para algunos la función $K: T \1-e^{-rT}$ y donde hemos dejado $$\epsilon^* : (S,K) \a K f(S,K)$$

A partir de la expresión anterior $$f(S,K) = \frac{\epsilon^*(S,K)}{K}$$ por lo tanto $$f_K(S,K) = -\frac{\epsilon^*(S,K)}{K^2} + \frac{\epsilon^*_K(S,K)}{K}$$ Nos gustaría calcular $$\lim_{T \to 0} f_K(S,K(T)) = \lim_{K \to 0} f_K(S,K) = \lim_{K \to 0} -\frac{\epsilon^*(S,K)}{K^2} + \frac{\epsilon^*_K(S,K)}{K} \etiqueta{2}$$

Para ayudarnos en nuestros cálculos, tomamos nota de que:

Como el tiempo a la madurez tiende hacia 0 una opción Americana se convierte estrictamente equivalentes a sus contrapartes Europeas (es decir, mismo precio + misma Griegos), por lo tanto, nosotros en particular tenemos: $$\lim_{T \to 0} \epsilon(S,T) = 0 \etiqueta{A}$$ $$\lim_{T \to 0} \epsilon_T(S,T) = 0 \etiqueta{B}$$ $$\lim_{T \to 0} \epsilon_{TT}(S,T) = 0 \etiqueta{C}$$

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El uso de (A) y observando que $$\lim_{T \to 0} \epsilon(S,T) = 0 \ffi \lim_{K \to 0} \epsilon^*(S,K) = 0$$ podemos reescribir (2) usando la regla de l'Hôpital

$$\lim_{K \to 0} f_K(S,K) = \lim_{K \to 0} -\frac{\epsilon^*_K(S,K)}{2K} + \frac{\epsilon^*_K(S,K)}{K} = \lim_{K \to 0} \frac{\epsilon^*_K(S,K)}{2K} \etiqueta{3}$$

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A partir de (1) $$\epsilon_T(S,T) = \epsilon^*_K K_T = \epsilon_K^*(S,K(T)) re^{rT}$$ El uso de (B) junto con la ecuación anterior los rendimientos $$\lim_{T\to 0} \epsilon_T = 0 \ffi \lim_{T \to 0} \epsilon_K^*(S,K(T)) r = 0$$ por lo tanto $$\lim_{K \to 0} \epsilon_K^*(S,K) = 0 \etiqueta{4}$$ Conectando en (2) y usando la regla de l'Hôpital da $$\lim_{T \to 0} f_K(S,K(T)) = \lim_{K \to 0} \frac{\epsilon^*_{KK}(S,K)}{2}$$

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A partir de (1) $$\epsilon_{TT}(S,T) = \epsilon^*_{KK} K_T^2 + \epsilon_K^* K_{TT}$$ Simarly a lo hicimos anteriormente, el uso de (C), junto con (3), dará lugar a $$\lim_{K \to 0} \epsilon^*_{KK} = 0 \etiqueta{5}$$ y la contramarcha que en nuestro expresión para $\lim_{T\to 0} f_K$ finalmente los rendimientos $$\lim_{T\to 0} f_K = \frac{1}{2} \lim_{K \to 0}\epsilon^*_{KK}(S,K) = 0$$