Ruta de crecimiento equilibrado (pregunta calificativa)

Question

$\textbf{Full disclaimer:}$ Estoy estudiando para mis exámenes de candidatura y esta pregunta es de uno de los exámenes del año pasado.

$$max\;\sum_{t=0}^\infty \beta^t \frac{c_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}$$ Sujeto a las siguientes limitaciones:

$$c_t+i_t=y_t$$ $$y_t=A_tk_t^\alpha$$ $$k_{t+1}=(1-\delta)k_t+i_t$$ $$ln(A_{t+1})=ln(A_t)+\mu$$ $$c_t,k_{t+1}\geq 0$$ (b) Calcule una senda de crecimiento equilibrado en la que el capital, el consumo y la producción crezcan a tasas constantes. En la senda de crecimiento equilibrado

(i) ¿Cuál es la tasa de crecimiento del capital?

(ii) ¿Cuál es la tasa de crecimiento del consumo?

(iii) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la producción?

(iv) ¿Cuál es la relación entre el capital y la producción?

(v) ¿Cuál es la relación entre el consumo y la producción?

$\textbf{My work:}$

Combinando las restricciones obtenemos: $$c_t=A_tk_t^\alpha+(1-\delta)k_t-k_{t+1}$$

Tomando dos términos de la función objetivo obtenemos: $$...+\beta^t\bigg(\frac{\big(A_tk_t^\alpha+(1-\delta k_t-k_{t+1}\big)^{1-\gamma}}{1-\gamma}\bigg)+\beta^{t+1}\bigg(\frac{\big(A_{t+1}k_{t+1}^\alpha+(1-\delta k_{t+1}-k_{t+2}\big)^{1-\gamma}}{1-\gamma}\bigg)+...$$

Diferenciación con respecto a $k_{t+1}$ y sustituyendo el consumo obtenemos: $$c_t^{-\gamma}=\beta\bigg[\alpha \bigg(\frac{A_{t+1}k_{t+1}^\alpha}{k_{t+1}}\bigg)+(1-\delta)\bigg]c_{t+1}^{-\gamma}$$ $$\implies \frac{c_{t+1}}{c_t}=\bigg[\beta\bigg(\alpha\bigg(\frac{y_{t+1}}{k_{t+1}}\bigg)+(1-\delta)\bigg)\bigg]^{\frac{1}{\gamma}}\qquad(1)$$ También he derivado: $$\frac{k_{t+1}}{k_t}=(1-\delta)+\frac{c_t}{k_t}-\frac{y_t}{k_t}\qquad(2)$$ $$\frac{y_{t+1}}{y_t}=e^\mu\bigg(\frac{k_{t+1}}{k_t}\bigg)^\alpha\qquad(3)$$ Mi línea de pensamiento es la siguiente:

$\frac{k_{t+1}}{k_t}=\frac{c_{t+1}}{c_t}$ porque si $\frac{k_{t+1}}{k_t}>\frac{c_{t+1}}{c_t}$ no satisfaríamos la condición de transversalidad porque tendríamos capital en el "último" período, lo que significa que no podemos estar maximizando el consumo. Si $\frac{k_{t+1}}{k_t}<\frac{c_{t+1}}{c_t}$ Al final no seríamos capaces de mantener un consumo constante. Utilizando esto y el hecho de que la relación entre la producción y el capital será constante a lo largo del tiempo, al igualar las ecuaciones (1) y (2) se obtienen los siguientes resultados desordenados: $$\bigg(\frac{y_t}{k_t}\bigg)^\gamma+\alpha\beta\bigg(\frac{y_t}{k_t}\bigg)=\bigg((1-\delta)+\frac{c_t}{k_t}\bigg)^\gamma+\beta(1-\delta)$$ Por lo que sé, esta ecuación no tiene solución. ¿Significa esto que no puedo decir que la tasa de crecimiento del consumo es igual a la tasa de crecimiento del capital o he cometido un error en alguna parte del camino? Además, ¿cómo se pueden resolver las tasas de crecimiento si no es de esta manera?

Answer 1

(Que se puede utilizar la aproximación de diferencia logarítmica para las tasas de crecimiento, se puede vislumbrar por el hecho de que mientras el modelo aparentemente se establece en tiempo discreto, la evolución logarítmica de la tecnología se expresa utilizando la exponencial, que es como expresamos una tasa de crecimiento constante en tiempo continuo).

Desde $$\frac{y_{t+1}}{y_t}=e^\mu\bigg(\frac{k_{t+1}}{k_t}\bigg)^\alpha\qquad(3)$$

Tomando los registros se obtiene

$$g_y = \mu + \alpha g_k$$

Donde el " $g$ "s son las tasas de crecimiento. En la senda de crecimiento equilibrado, tienen que ser iguales a alguna constante, por ejemplo $g^*$ , por lo que tiene

$$g^* = \mu + \alpha g^* \implies g^* = \frac {\mu}{1-\alpha}$$

que es la tasa de crecimiento de la economía en la senda de crecimiento equilibrado.

También deberías ser capaz (simplemente manipulando la ecuación con la que empiezas a mostrar tu trabajo), de llegar fácilmente a

$$\left (\frac {c}{y}\right)^* = 1- (\delta +g^*)\left (\frac {k}{y}\right)^*$$ Así que basta con determinar uno de los dos para obtener el otro.

Realice cómo puede escribir el lado izquierdo de $(1)$ mientras se está en la senda de crecimiento equilibrado, entonces se da la vuelta a la ecuación y se resuelve para $k/y$ . No espere obtener algo necesariamente "de aspecto sencillo".