Fijar el precio de un contrato de bonos a partir de la curva de rendimiento

Question

Al dar una clase particular de matemáticas financieras para un alumno vi un problema en una lista de ejercicios que dice:

Cómo calcular el precio a 15 de diciembre de 2010 de un bono que paga un cupón del 11,04 % 2 veces al año sabiendo que los días de pago del cupón son

Coupon date 
1   15 March 2011
2   15 September 2011
3   15 March 2012
4   15 September 2012
5   15 March 2013
6   15 September 2013
7   15 March 2014
8   15 September 2014
9   15 March 2015
10  15 September 2015
11  15 March 2016
12  15 September 2016
13  15 March 2017
14  15 September 2017
15  15 March 2018
16  15 September 2018
17  15 March 2019
18  15 September 2019
19  15 March 2020

y con la siguiente curva de rendimiento:

Yield curve 
Term (D)    Rate 
1       0.0051505
9       0.0051179
16      0.005344728
23      0.005602964
33      0.00560621
64      0.006237435
92      0.006553657
124     0.006818637
153     0.00702155
184     0.00721352
215     0.007444632
245     0.007695142
278     0.007965138
306     0.0082047
337     0.008453748
369     0.008692272
460     0.009484277
551     0.010313827
642     0.011160763
733     0.01202446
1098    0.015414247
1463    0.018648449
1828    0.02158657
2196    0.02408674
2560    0.026161802
2924    0.027907447
3289    0.029391256
3655    0.030649823

Mi formación es más bien teórica (probabilidad y etc) y no tengo muchos conocimientos de productos financieros como puedes ver por mi pregunta. Podrían ayudarme a entender cómo se calcula de una forma práctica y sencilla de explicar para un estudiante. Pero primero para mí, porque me faltan conocimientos prácticos.

Sé que si tenemos un proceso de tipos de interés $(r_t)_{t\geq 0}$ entonces el precio del bono cupón cero en la fecha $t$ de madurez $T$ viene dada por $P_t = \mathbb E_t^{\mathbb Q}\left [exp(-\int^T_t r_s ds ) \right ]$ donde $\mathbb Q $ es una medida neutral de riesgo. Entonces el precio del bono con cupón viene dado por $$ P_0 = \sum_{i=1} ^n cP_0(T_i) + F P_0(T) =\sum_{i=1} ^n \rho F P_0(T_i) + F P_0(T) $$

donde $F$ es el valor nominal, $\rho $ es el interés preasignado y $T_1\leq \cdots \leq T_n \leq T$ son las fechas en las que se pagan los cupones.

También sé que el Yelds está dado por

$$ R_t(T) = \frac{-ln P_t(T)} {T-t}$$

desde $P_t(T) = \exp(-(T-t) R_t(T))$ .

Entonces, ¿debería computar $P_o$ por estas relaciones o ¿Me equivoco en la definición de la curva de rendimiento? (Creo que hay otros tipos de rendimientos, ¿verdad?

Surge otra pregunta. Mientras buscaba una respuesta a esta pregunta he revisado algún material teórico sobre los modelos pero también algunos piráticos. En uno de los materiales prácticos he visto una simulación de trayectoria para el precio al contado de una acción utilizando el tipo a plazo en lugar del tipo de interés a corto plazo. En el contexto tenían la misma fecha que tengo en mi problema: una curva de rendimiento. ¿Por qué debería ser el una mejor aproximación para el tipo de interés a corto plazo que la curva de curva de rendimiento (suponiendo que se interpola si es necesario para tener una aproximación más refinada y suave)?

Sé que la tasa corta $r_t$ viene dada por $r_t =\lim_{\tau \to t} f_t(\tau) =\lim_{\tau \to t} \nabla_\tau [R_t(\tau)(\tau-t)]$ (¡suponiendo que esos límites existan!)

Gracias de antemano por sus consejos.

Answer 1

Creo que lo que has escrito es correcto. Voy a reformular todo según mi manera de dar otro punto de vista.

El precio de un bono con cupón en el momento $t = 0$ es la suma de los flujos de caja descontados dados por los cupones y el valor nominal:

$$ P_0 = F \cdot D(0, T_n) + \sum_{i=1}^{n} 11.04\% \cdot 0.5 \cdot F \cdot D(0, T_i) $$

donde $F$ es el valor nominal, $T_n = T$ es el vencimiento del bono, $D$ es la tasa de descuento. Creo que esta es la definición más sencilla. Algunas notas sobre la fórmula:

• Los cupones se pagan también en la fecha de vencimiento, por lo que se puede suponer que el 15 de marzo de 2020 es el vencimiento del bono;
• Por lo general, el tipo de cupón de un bono se expresa en forma de tasa anual, por lo que el tipo pagado cada 6 meses es la mitad de $11.04\%$ y el $0.5$ factor está ahí debido a esto.

Utilizando la estructura temporal de los tipos de interés, los factores de descuento son fáciles de expresar: $$ P(0, T_n) = F \cdot \exp\left(- R_0(T_n) \cdot T_n\right) + \sum_{i=1}^{n} 11.04\% \cdot 0.5 \cdot F \cdot \exp\left(- R_0(T_i) \cdot T_i\right) $$

La estructura temporal de los tipos de interés asigna un tipo $R_0(T_i) = r_i$ a cada vencimiento $T_i$ Estos tipos se calculan a partir de los precios de los bonos de cupón cero en un día determinado utilizando la fórmula que ya conoce (el tipo es el logaritmo del precio dividido por el periodo de tiempo). Por lo tanto, los factores de descuento y los precios de los bonos de cupón cero son los mismos en este caso: $D(0, T_i) = P(0, T_i) = P_0(T_i)$ (la última es su anotación). Tarifas $r_i$ se suelen denominar tipos cero o tipos al contado.

La curva de rendimiento es algo diferente: se construye a partir del YTM, rendimiento al vencimiento. El YTM es el tipo de interés tal que $r_1 = r_2 = \dots = r_n = YTM$ y $P(0, T)$ es igual al precio de mercado actual. Esto significa que todos los flujos de caja se descuentan con la misma tasa (esto tampoco es natural en la realidad: se aplican diferentes tasas para diferentes vencimientos). Cada bono tiene su propio YTM y suele expresarse como una tasa anual.

La curva de rendimiento y la estructura de plazos dan los mismos valores sólo para los bonos de cupón cero, ya que no hay cupones que descontar. En el caso de los bonos con cupón, el significado es muy diferente, como puede verse.

Lo que usted llama "rendimientos" son en realidad los tipos al contado de una estructura de plazos. Su problema es calcular el precio del bono teniendo en cuenta la estructura de plazos el 15 de diciembre de 2010 (hora $t=0$ ). Por lo tanto, sólo hay que contar el número de días entre el 15 de diciembre de 2010 y cada fecha de pago, poner ese número con el tipo correcto en la fórmula para obtener los factores de descuento y sumar todo para obtener el precio del bono con cupón.

-- editar para responder a los comentarios:

El factor 0,5 está ahí por la siguiente razón (véase también el segundo punto anterior). Normalmente, el tipo del cupón se expresa como un tipo anual; por lo tanto, si el 11,04% es el tipo anual del cupón y el cupón se paga dos veces al año, la práctica habitual es pagar $11.04\% / 2 = 5.52\%$ del valor nominal cada seis meses. Así que usted obtiene $F \cdot 5.52\%$ dinero cada vez. Si su cupón ya está expresado como una tasa de 6 meses, entonces no necesita poner el factor 0,5.

Los precios de mercado de los bonos suelen expresarse con un valor nominal de 100. Yo optaría por eso para ser coherente con la práctica habitual.

Por último, abordemos los tipos y los vencimientos. Si no tienes un tipo de interés para tu vencimiento exacto, sólo puedes aproximarlo: * puedes tomar el tipo del vencimiento más cercano en la estructura de plazos (si la diferencia es < 7 días, no creo que notes grandes diferencias); * puedes aproximar con interpolación lineal o spline o cualquier otra técnica; * modo avanzado: si tienes la dinámica del tipo spot instantáneo (el proceso de tipo de interés que has nominado), puedes calcular el tipo para cualquier vencimiento; sigue siendo una aproximación ya que no está presente en el mercado.

Normalmente, en los ejercicios el número de días coincide con la estructura de plazos, ya que la parte crucial de la fijación de precios de los bonos no es este proceso de aproximación, sino utilizar la fórmula correcta con los números adecuados.