Portafolio óptimo de la Frontera Eficiente

Question

Encontré este código en el sitio plotly, utilizando CVXOPT para encontrar la frontera eficiente y luego la cartera óptima. La función óptima es

def optimal_portfolio(returns):
    n = len(returns)
    returns = np.asmatrix(returns)

    N = 100
    mus = [10**(5.0 * t/N - 1.0) for t in range(N)]

    # Convertir a matrices cvxopt
    S = opt.matrix(np.cov(returns))
    pbar = opt.matrix(np.mean(returns, axis=1))

    # Crear matrices de restricción
    G = -opt.matrix(np.eye(n))   # matriz identidad negativa de n x n
    h = opt.matrix(0.0, (n ,1))
    A = opt.matrix(1.0, (1, n))
    b = opt.matrix(1.0)

    # Calcular los pesos de la frontera eficiente usando programación cuadrática
    portfolios = [solvers.qp(mu*S, -pbar, G, h, A, b)['x'] 
                  for mu in mus]
    ## CALCULAR RIESGOS Y RETORNOS PARA LA FRONTERA
    returns = [blas.dot(pbar, x) for x in portfolios]
    risks = [np.sqrt(blas.dot(x, S*x)) for x in portfolios]
    ## CALCULAR EL POLINOMIO DE 2º GRADO DE LA CURVA DE LA FRONTERA
    m1 = np.polyfit(returns, risks, 2)
    x1 = np.sqrt(m1[2] / m1[0])
    # CALCULAR LA CARTERA ÓPTIMA
    wt = solvers.qp(opt.matrix(x1 * S), -pbar, G, h, A, b)['x']
    return np.asarray(wt), returns, risks

weights, returns, risks = optimal_portfolio(return_vec)

Mi pregunta se refiere a las líneas donde el código ajusta una parábola a la frontera eficiente

m1 = np.polyfit(returns, risks, 2)

toma la raíz cuadrada de la división de la intercepción por el coeficiente de x al cuadrado

x1 = np.sqrt(m1[2] / m1[0])

y lo pone en la optimización

t = solvers.qp(opt.matrix(x1 * S), -pbar, G, h, A, b)['x']

¿Alguien puede explicar por qué se hace esto?

¡Gracias!

Answer 1

En la ecuación cuadrática de la forma $y= ax^2+bx+c = 0$, cuando $b=0$ entonces $+/-\sqrt{(c/a)}$ son los valores de intersección con el eje $x$. Además, esta es la solución de la ecuación. Utilizando las fórmulas de Vieta uno puede ver que: $x1*x2 = c/a$ También, utilizando la solución trigonométrica: $x= \sqrt{(c/a)}*tan(\theta)$ Por lo tanto, tal vez haya necesidad de rotar el eje en 90 grados a la derecha para entenderlo mejor y cambiar el eje de simetría. Y supongo que hay una conexión con el foco de la parábola

Answer 2

Tenga en cuenta que mus no es una serie de valores de retorno esperados; es una serie de 'pesos' que representan el parámetro de aversión al riesgo, es decir, la importancia relativa de la varianza en el trade-off retorno-varianza, también el multiplicador de Lagrange en un problema de optimización de dos criterios. (Ver página 187, Figura 4.12 del libro Optimización convexa)

Compare solvers.qp(mu*S, -pbar, G, h, A, b)['x'] con solvers.qp(opt.matrix(x1 * S), -pbar, G, h, A, b)['x'], tenga en cuenta que $(x_1, x_2)=(\sqrt{c/a}, \sqrt{c/a})$ es el vértice de la parábola, por lo tanto, $x_1$ representa el parámetro de aversión al riesgo que conduce a la cartera óptima con menor std.