Cartera de máxima Sharpe (sin restricciones de venta al descubierto)

Question

Supongamos que tenemos $n$ activos cuyo vector de rentabilidad esperada es $r$ y es positiva, y cuya matriz de covarianza es $\Sigma$ . ¿Existe una forma cerrada o casi cerrada (como el vector propio de una matriz, etc.) para resolver el vector de ponderaciones de la cartera? $w$ que maximiza el ratio de Sharpe $w^T r/\sqrt{w^T \Sigma w}$ ? (Supongamos no restricción de las ventas en corto).

Si en general no es posible, ¿existe una solución de forma cerrada para casos de baja dimensión como $n=2,3$ ? Recuerdo que me enseñaron una solución de forma cerrada para $n=2$ en la clase. La expresión es un poco complicada y, por desgracia, no va acompañada de una demostración.

Intenté diferenciar wrt $w$ pero el degradado es un desastre. No creo que podamos sacar nada útil de ello.

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Por el comentario, la fuente vinculada afirma que el maximizador está en la dirección de $\Sigma^{-1}r$ . ¿Alguien podría explicar o sugerir lo contrario? Gracias.

Answer 1

Sea $R$ sea un vector aleatorio de rendimientos de riesgo y que $r_f$ denotan el tipo libre de riesgo. Sea el vector de rendimientos esperados $\boldsymbol{\mu} = \operatorname{E}[R]$ y la matriz de covarianza $\Sigma = \operatorname{Cov}(R)$ .

La cartera con el máximo ratio de Sharpe entre los activos de riesgo se denomina cartera de tangencia.

Método rápido para la cartera de tangencia

Busquemos la frontera de la varianza entre TODOS los activos (incluido el valor sin riesgo) en el espacio de exceso de rentabilidad. (La rentabilidad de cualquier cartera de coste cero, es decir, una rentabilidad menos otra, es un exceso de rentabilidad). La cartera de tangencia será la cartera eficiente en varianza media (es decir, que tiene una varianza mínima dada cualquier rentabilidad esperada) con 0 peso en el tipo libre de riesgo.

Sea $x_i$ denota la ponderación del exceso de rentabilidad $R_i - r_f$ (de ahí que haya un peso de $1 - \sum_i x_i$ sobre el tipo libre de riesgo).

\begin{equation} \begin{array}{*2{>{\displaystyle}r}} \mbox{minimize (over $\mathbf{x}$)} & \frac{1}{2}\mathbf{x}'\Sigma\mathbf{x} \\ \mbox{subject to} & \mathbf{x}'(\boldsymbol{\mu} - r_f) = c - r_f \end{array} \end{equation}

Condición de primer orden:

$$ \Sigma \mathbf{x} = \lambda \left( \boldsymbol{\mu} - r_f \right)$$

La cartera en la frontera se compone únicamente de valores de riesgo ( $\sum_i x_i = 1$ ) es:

$$ \mathbf{x}_\mathrm{tan} = \frac{\Sigma^{-1} \left( \boldsymbol{\mu} - r_f\right)}{\mathbf{1}' \Sigma^{-1} \left( \boldsymbol{\mu - r_f} \right)}$$

Una derivación completa por fuerza bruta

Sea $R$ sea un vector aleatorio de rendimientos de riesgo y que $r_f$ denotan el tipo libre de riesgo. Sea el vector de rendimientos esperados $\boldsymbol{\mu} = \operatorname{E}[R]$ y la matriz de covarianza $\Sigma = \operatorname{Cov}(R)$ .

Una forma clásica de proceder es resolver primero la frontera media-varianza entre activos de riesgo, es decir, dada una rentabilidad esperada deseada $c$ halle las ponderaciones de la cartera $\mathbf{w}$ que minimizan la varianza.

\begin{equation} \begin{array}{*2{>{\displaystyle}r}} \mbox{minimize (over $w$)} & \frac{1}{2}\mathbf{w}'\Sigma \mathbf{w} \\ \mbox{subject to} & \boldsymbol{\mu}' \mathbf{w} = c \\ & \mathbf{1}'\mathbf{w} = 1 \end{array} \end{equation} Se trata de un problema de optimización convexo porque tiene un objetivo convexo sujeto a restricciones afines. Además El estado de Slater por lo que las condiciones de primer orden son necesarias y suficientes para un óptimo. Forma del Lagrangiano:

$$\mathcal{L} = \mathbf{w}'\Sigma\mathbf{w} - \lambda \boldsymbol{\mu}' \mathbf{w}- \gamma \mathbf{1}'\mathbf{w} $$

La condición de primer orden con respecto a $\mathbf{w}$ :

$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}} = \Sigma \mathbf{w} - \lambda \boldsymbol{\mu} - \gamma \boldsymbol{1} = \mathbf{0}$$

Suponiendo que $\Sigma$ es de rango completo (es decir, no hay activos sin riesgo ni activos linealmente dependientes):

$$ \mathbf{w} = \lambda \Sigma^{-1} \boldsymbol{\mu} + \gamma \Sigma^{-1} \mathbf{1} $$

Ahora tenemos que resolver los multiplicadores $\lambda$ y $\gamma$ . Utilización de $\boldsymbol{\mu}'\mathbf{w} = c$ y $\mathbf{1}'\mathbf{w} = 1$

$$ \lambda \boldsymbol{\mu'} \Sigma^{-1} \boldsymbol{\mu} + \gamma \boldsymbol{\mu'} \Sigma^{-1} \mathbf{1} = c \quad \quad \lambda \mathbf{1'} \Sigma^{-1} \boldsymbol{\mu} + \gamma \mathbf{1'} \Sigma^{-1} \mathbf{1} = 1$$

Parece complicado, pero se trata de un simple sistema lineal de 2 ecuaciones y 2 variables. Déjalo:

$$s_{\mu\mu} = \boldsymbol{\mu'} \Sigma^{-1} \boldsymbol{\mu} \quad \quad s_{1\mu} = \boldsymbol{\mu'} \Sigma^{-1} \mathbf{1} \quad \quad s_{11} = \mathbf{1}' \Sigma^{-1} \mathbf{1}$$

El sistema y la solución son:

$$ \begin{bmatrix} s_{\mu\mu} & s_{1\mu} \\ s_{1\mu} & s_{11} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \begin{bmatrix} \lambda \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_{\mu\mu} & s_{1\mu} \\ s_{1\mu} & s_{11} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} c \\ 1 \end{bmatrix} $$

Por lo tanto:

$$ \mathbf{w} = \begin{bmatrix} \Sigma^{-1} \boldsymbol{\mu} & \Sigma^{-1} \mathbf{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_{\mu\mu} & s_{1\mu} \\ s_{1\mu} & s_{11} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} c \\ 1 \end{bmatrix} $$

Esto demuestra que la cartera media-varianza es lineal con pesos variables sobre los vectores $\Sigma^{-1} \boldsymbol{\mu}$ y $\Sigma^{-1} \mathbf{1} $ . Esto a su vez implica el llamado resultado de separación de dos fondos, que la frontera media-varianza se compone de combinaciones lineales de carteras $\frac{\Sigma^{-1} \boldsymbol{\mu}}{\mathbf{1}'\Sigma^{-1} \boldsymbol{\mu}}$ y $\frac{\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}'\Sigma^{-1}\mathbf{1}}$ . En el espacio de ponderación de la cartera, la frontera de la varianza media es una línea.

Encontrar el máximo ratio de Sharpe:

Usted puede demostrar que en un óptimo $\mathbf{w}$ la varianza viene dada por:

$$\begin{align*} \mathbf{w}'\Sigma \mathbf{w} &= \lambda c + \gamma \\ &= \begin{bmatrix} c & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_{\mu\mu} & s_{1\mu} \\ s_{1\mu} & s_{11} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} c \\ 1 \end{bmatrix} \\ &= \frac{s_{11}c^2 - 2s_{1u}c +s_{uu}}{s_{11}s_{uu} - s_{1u}^2} \end{align*} $$

Por lo tanto, la solución para el máximo ratio de Sharpe en la frontera media-varianza se puede escribir como:

$$ \begin{equation} \begin{array}{*2{>{\displaystyle}r}} \mbox{maximize (over $c$)} & \frac{c - r_f}{\sqrt{ \frac{s_{11}c^2 - 2s_{1u}c +s_{uu}}{s_{11}s_{uu} - s_{1u}^2}} } \end{array} \end{equation} $$

Multiplica la constante para facilitar el problema. Sólo necesitamos

$$ \frac{d}{dc} \left[\frac{c - r_f}{\sqrt{ s_{11}c^2 - 2s_{1u}c +s_{uu} }}\right] = 0$$

$$ \sqrt{ s_{11}c^2 - 2s_{1u}c +s_{uu} } - \frac{1}{2}(c - r_f) \frac{2 cs_{11} - 2 s_{1u}}{\sqrt{ s_{11}c^2 - 2s_{1u}c +s_{uu} }} = 0$$ $$ c = \frac{s_{uu} - r_f s_{1u}}{s_{1u} - r_fs_{11}} $$

Por lo tanto, para la cartera de tangencia: $$\begin{align*} \mathbf{w}_\mathrm{tan} &= \begin{bmatrix} \Sigma^{-1} \boldsymbol{\mu} & \Sigma^{-1} \mathbf{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_{\mu\mu} & s_{1\mu} \\ s_{1\mu} & s_{11} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \frac{s_{uu} - r_f s_{1u}}{s_{1u} - r_fs_{11}} \\ 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \Sigma^{-1} \boldsymbol{\mu} & \Sigma^{-1} \mathbf{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{s_{1u} - r_f s_{11}} \\ \frac{-r_f}{s_{1u}- r_f s_{11}} \end{bmatrix}\\ &= \frac{ \Sigma^{-1} (\boldsymbol{\mu} - r_f)}{\mathbf{1}'\Sigma^{-1} \boldsymbol{\mu} - r_f \mathbf{1}'\Sigma\mathbf{1}}\\ &= \frac{ \Sigma^{-1} (\boldsymbol{\mu} - r_f)}{\mathbf{1}'\Sigma^{-1} \left( \boldsymbol{\mu} - r_f \right) } \end{align*}$$

Obsérvese también que la cartera de varianza mínima viene dada por:

$$ \mathbf{w}_\mathrm{mvp} = \frac{\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}'\Sigma^{-1}\mathbf{1}}$$

Nota de notación:

Utilizo negrita para los vectores, mayúsculas para las variables aleatorias y las matrices, y minúsculas para los escalares. $\mathbf{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \ldots \\ 1 \end{bmatrix}$ y $\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \ldots \\ 0\end{bmatrix}$ .

Answer 2

Hay dos casos en los que se permiten las ventas al descubierto: Con préstamos y empréstitos sin riesgo y sin riesgo. Como se menciona en los comentarios, basta con resolver un sistema lineal.

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Con préstamos y empréstitos sin riesgo

La existencia de un tipo de interés deudor y acreedor sin riesgo $r_f$ implica que existe una única cartera de activos de riesgo, que es preferida a todas las demás carteras. Se desea maximizar la función

$$\theta = \frac{\bar{R}_P - R_f}{\sigma_p}$$

sujeto a la restricción $\sum_{i=1}^N X_i = 1$ .

$\bar{R}_P$ denota la rentabilidad media de la cartera de $N$ activos $i$ con pesos $X_i$ y $\sigma_P$ es la desviación típica de los rendimientos de la cartera. A partir de la definición de rentabilidad de la cartera, $R_f = 1 \cdot R_f = \left( \sum_{i=1}^N X_i \right) \cdot R_f = \sum_{i=1}^N (X_iR_f)$ y su desviación típica, se obtiene

$$\theta = \frac{\sum_{i=1}^N X_i(\bar{R}_i - R_f)}{\left[ \sum_{i=1}^N (X_i^2 \sigma_i^2) + \sum_{i=1}^N \sum_{\substack{j=1 \\ j\neq i}}^N X_iX_j\sigma_{ij} \right]^{\frac{1}{2}}}$$ donde $\sigma{ij}$ es la covarianza de los rendimientos de los activos $r_i$ y $r_j$ .

Es un simple problema de maximización, se toma la derivada con respecto a cada variable y se hace igual a cero. Se obtiene un sistema de ecuaciones:

1. $\frac{d\theta}{dX_1}=0$
2. $\frac{d\theta}{dX_2}=0$
3. $\frac{d\theta}{dX_i}=0$
4. ...

En general: $$\frac{d\theta}{dX_i}=-(\lambda X_1\sigma_{1i}+\lambda X_2\sigma_{2i}+ ... + \lambda X_i\sigma_{i}^2+ ...+\lambda X_{N-1}\sigma_{N-1,i}+\lambda X_{N}\sigma_{Ni})+\bar{R}_i - R_f = 0$$

con

$$\lambda = \frac{\sum_{i=1}^N X_i(\bar{R}_i - R_f)}{ \sum_{i=1}^N (X_i^2 \sigma_i^2) + \sum_{i=1}^N \sum_{\substack{j=1 \\ j\neq i}}^N X_iX_j\sigma_{ij} }$$

Tras definir una nueva variable $Z_k = \lambda X_k$ la formulación se simplifica al sistema (llamémoslo A):

$$\bar{R}_1 - R_f = Z_1\sigma_1^2 + Z_2 \sigma_{12}+Z_3 \sigma_{13}+Z_N \sigma_{1N}$$ $$\bar{R}_2 - R_f = Z_1\sigma_{12} + Z_2 \sigma_2^2+Z_3 \sigma_{23}+Z_N \sigma_{2N}$$ $$...$$ $$\bar{R}_N - R_f = Z_1\sigma_{1N} + Z_2 \sigma_{2N}+Z_3 \sigma_{3N}+Z_N \sigma_N^2$$

En $Z_N$ son proporcionales a la cantidad óptima a invertir en cada valor. En primer lugar, se resuelve el sistema anterior para $Z_N$ entonces el peso óptimo $X_k$ para cada activo $k$ es

$$X_k = \frac{Z_k}{\sum_{i=1}^N Z_i}$$

Sin préstamos y empréstitos sin riesgo

Si un tipo sin riesgo $R_f$ no está disponible, hay que modificar la solución anterior. Supongamos que $R_f$ existe y encontrar la cartera óptima con el método anterior. A continuación, suponga una $R_f$ y encontrar la cartera óptima que corresponda a este tipo sin riesgo ligeramente modificado. Continúe cambiando el tipo supuesto hasta que se determine la frontera eficiente completa.

Consideremos de nuevo el sistema lineal A. Sin embargo, no tenemos que sustituir un valor concreto de $R_f$ . Podemos simplemente dejar $R_f$ como parámetro general y resolver para $Z_k$ en términos de $R_f$ . El resultado es una solución de la forma

$$Z_k = C_{0k} + C_{1k}R_f$$

donde $C_{0k}$ y $C_{1k}$ son constantes. Tienen un valor diferente para cada activo $k$ pero ese valor no cambia con los cambios en $R_f$ . Una vez que el $Z_k$ se determinan como funciones de $R_f$ podríamos variar $R_f$ para determinar la cantidad a invertir en cada valor en distintos puntos de la frontera eficiente.

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Observación adicional

Lintner(1965) tiene una definición alternativa de las ventas en corto que es más realista. Asume correctamente que cuando un inversor vende acciones en corto, no recibe efectivo, sino que lo retiene como garantía. Además, el inversor debe aportar una cantidad adicional de efectivo igual a la cantidad de acciones que vende en corto. En resumen, el problema es el siguiente $\sum_{i=1}^N \left| X_i \right| = 1$ .

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Referencia

Elton/Gruber/Brown/Götzmann (2014) , Teoría moderna de carteras y análisis de inversiones ed. 9, John Wiley & Sons.

Answer 3

Para complementar la respuesta de @skoestimeier sobre el caso de venta en corto permitida, ofrezco una versión vectorizada. Utilizando la notación original de mi post (puedes cambiar $r$ a algo como $r-r_f$ pero esto no afecta a la estructura algebraica). Nuestro objetivo es encontrar el maximizador del problema $$\max_{w}f(w):=\frac{w^T r}{(w^T\Sigma w)^{1/2}}.$$ Sea $$\phi: w\mapsto \begin{bmatrix}w^Tr \\ w^T\Sigma w\end{bmatrix},\quad h(x,y):=\frac x {y^{1/2}}$$ Entonces $f(w) = h\circ\phi(w)$ y, por tanto $$ \begin{align} D_wf(w) &= (Dh)(\phi(w)) (D\phi)(w)\\ &=\begin{bmatrix} \frac1{(w^T\Sigma w)^{1/2}} & -\frac{w^T r}{2(w^T\Sigma w)^{3/2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r^T \\ 2w^T \Sigma \end{bmatrix}\\ & = \frac1{(w^T\Sigma w)^{3/2}}((w^T\Sigma w) r^T - (w^T r) w^T\Sigma) \end{align} $$ Ahora dejemos que $D_w f(w)=0$ . Si eliminamos el demoninador y transponemos, obtenemos $$r(w^T\Sigma w) - \Sigma w (r^T w)=0$$ Divide cada lado por $w^T r$ para obtener $$\Sigma w = r\cdot\frac{w^T\Sigma w}{r^T w}=r\cdot \lambda$$ donde dejamos que $\lambda:=\frac{w^T\Sigma w}{r^T w}$ que es un escalar. Ahora, vemos que $w=\lambda(\Sigma^{-1} r)$ . Pero recordando que la función $f(w)$ es 0-homogéneo es decir, reescalar el argumento por cualquier constante distinta de cero no afecta a la salida. Por lo tanto, sólo tenemos que preocuparnos de $w$ dirección. Así que sabiendo que $w$ está en la misma dirección que $\Sigma^{-1} r$ esencialmente resuelve el problema. Lo que queda por hacer es simplemente reescalar por alguna constante $\beta$ tal que $\beta (1^T \Sigma^{-1}r)=1$ para satisfacer la restricción $1^T w\equiv 1$ y está claro que $\beta = (1^T \Sigma^{-1}r)^{-1}$ . Por lo tanto $$w = \frac{\Sigma^{-1}r}{1^T \Sigma^{-1}r}$$

Para el caso de no venta en corto, como se señala en los comentarios y en la respuesta aceptada, el algoritmo es mucho más complicado y tal vez no exista una solución de forma cerrada.