Desenvolvimiento de los rendimientos

Question

El siguiente problema se plantea en el contexto de los fondos de capital riesgo, que suelen informar de los rendimientos "suavizados" (piense en ello como una media móvil). Como puede imaginarse, los rendimientos "suavizados" tendrían una volatilidad mucho menor en comparación con la volatilidad de los rendimientos "no suavizados". Para calcular el riesgo, nos interesa la volatilidad de los rendimientos "no suavizados".

Matemáticamente, supongamos que observo un proceso $\bar{r}_t$ que es una media móvil del proceso $r_t$ es decir, $\bar{r}_t = \sum_{k=0}^p w_k r_{t-k}$ . También sé que $r_t = \alpha + \beta r_{I, t} + \epsilon_t$ , donde $r_{I, t}$ son los rendimientos de un índice público y $\epsilon_t = N(0, \sigma^2)$ . Me gustaría estimar los rendimientos "no alisados" $r_t, t = 0, \ldots, T$ de los datos: $\bar{r}_t, r_{I,t}, t=0, 1, \ldots, T$ .

¿Puede alguien sugerirme cómo debo hacer esta estimación? Si hay una referencia a un problema similar, también estaría bien. Gracias.

Answer 1

¿Intentaste resolver para $w_k$ ?

$$\bar{r}_t = \sum_{k=0}^p w_k r_{t-k}$$

$$\bar R = W R$$

Como probablemente tenga $t>>k$ se puede resolver para $W$ utilizando OLS $$\bar R = W R +\varepsilon$$

-- ACTUALIZACIÓN

Puede intentar aplicar Filtro Kalman . Aquí, la evolución de su estado es $$r_t=\mu+\varepsilon_t$$ . Se introduce un nuevo vector $x_t=(r_t, r_{t-1}, \dots, r_{t-p+1})$ y $\mu_x=(\mu,\mu,\dots,\mu)$ reescribir esto como: $$x_t = \mu_x+x_{t-1}+e_t$$

Suponiendo que los rendimientos son independientes y la varianza es constante Y que las ponderaciones suman 1, es decir $\varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma)$ puedes ver que $\mu_{\bar r}=\mu_r$ y $\sigma_{\bar r}^2=\sigma_r^2\sum_{k=0}^{p-1}w_k^2$ . Por lo tanto, $e_t$ es una normal multivariante con una matriz de covaraincia diagonal $diag(\Sigma)=\frac{1}{\sum_{k=0}^{p-1}w_k^2}(\sigma_{\bar r}^2,\sigma_{\bar r}^2,\dots,\sigma_{\bar r}^2)$ .

A continuación, su ecuación de medición es $$\bar x_t=x_t \cdot(w_0,w_1,\dots,w_{p-1})'$$

Esto debería ser muy fácil de estimar utilizando paquetes de filtros de Kalman.

Answer 2

Gracias @Aksakal por sugerir el filtro Kalman. Aquí proporciono más detalles. Lo veremos como un modelo de espacio de estados: $$\begin{split} z_t &= A_t z_{t-1} + B_t u_t + \epsilon_t, \\ y_t &= C_t z_t + D_t u_t + \delta_t, \\ \epsilon_t &\sim \mathcal{N}(0, Q_t),\ \delta_t \sim \mathcal{N}(0, R_t), \end{split}$$ donde $z_t$ es la variable latente, $y_t$ es la observación, $u_t$ es un señal de entrada o de control opcional, $\epsilon_t$ es el ruido del sistema y $\delta_t$ es el ruido de observación.

Si trasladamos nuestro problema a la forma de espacio de estados, obtenemos $$z_t = \begin{bmatrix} r_t\\ r_{t-1} \\ \vdots \\ r_{t-p} \end{bmatrix}_{(p+1)\times 1}, A_t = \begin{bmatrix} 0, 0, \ldots, 0 \\ 1, 0, \ldots, 0 \\ \vdots \ldots \vdots \\ 0, \ldots, 1, 0 \end{bmatrix}_{(p+1)\times(p+1)}, B_t = \begin{bmatrix} \alpha,\ \beta \\ 0,\ 0 \\ \vdots\ \vdots \\ 0,\ 0 \end{bmatrix}, u_t = \begin{bmatrix} 1\\ r_{I, t} \end{bmatrix},\ Q_t = \begin{bmatrix} \sigma^2\quad &\mathbf 0^\top_{1\times p} \\ \mathbf{0}_{p \times 1}\ &\mathbf{0}_{p\times p} \end{bmatrix}$$ $$y_t = \bar{r}_t,\quad \\ C_t = \begin{bmatrix} w_0\ w_1 \ldots w_p \end{bmatrix},\ D_t = \mathbf{0}_{1\times 2},\ R_t = \mathbf{0}_{1\times 1}.$$ También asumimos $y_t \sim N(0, \sigma_0^2)$ , donde $\sigma_0^2$ es lo suficientemente grande como para que sea una prioridad difusa. Nuestro modelo tiene el parámetro $\theta = (B_t, C_t, \sigma^2, \sigma_0^2)$ . Estamos interesados principalmente en $p(z_t|y_{0\colon t}, u_{0\colon t}, \theta)$ .

Answer 3

Si se asume una correlación de primer orden y supuestos estacionarios y no hay autocorrelación entre los rendimientos reales y los estimados, la respuesta es la siguiente

Denota por $R^e$ el rendimiento estimado, $R^t$ el verdadero retorno y $\rho$ el coeficiente de autocorrelación

Por suposiciones, tiene que

• $R^e(t)= \rho R^e(t-1) + (1-\rho ) R^t(t)$
• $Cov( R^t(t), R^e(t-1) ) = 0$

Entonces la volatilidad estimada es

$Var(R^e(t))= Var\{\rho R^e(t-1)+(1-\rho)R^t(t)\} = \rho^2Var(R^e(t-1))+(1-\rho )^2Var(R^t(t))$ o

$Var(R^e)= \rho^2 Var( R^e) + (1-\rho )^2 Var(R^t)$

Por lo tanto,

$Var(R^e)= \frac{1-\rho}{1+\rho} Var(R^t)$

esta es la respuesta que puede estar buscando

Answer 4

El filtro Blundell Ward es un método bastante utilizado para eliminar la autocorrelación de primer orden ver;

http://www.scribd.com/doc/142748206/Impact-of-Auto-correlation-on-Expected-Maximum-Drawdown#scribd