Supongamos que $W_{t}$ es un movimiento browniano estándar, calcula la probabilidad de que $W_{t}*W_{2t}$ es negativo, es decir, $P(W_{t}*W_{2t}<0)$ . Me resulta difícil calcular la probabilidad. Gracias.
Desde $W_{2t}-W_{t}$ es independiente de $W_t$ y tiene la misma ley que $W_{2t-t}=W_t$ sólo tenemos que calcular $$P(X(X+Y)<0)$$ donde $(X,Y)$ sigue una distribución normal bivariada (con correlación cero). A partir de ahí se puede dividir la probabilidad en dos casos : o bien $X<0$ y $X+Y>0$ o lo contrario. Los dos eventos tienen la misma probabilidad ya que $(-X,-Y)\sim (X,Y)$ . Queda el cómputo de $$ P(X<0,X+Y>0)$$ ya que la distribución de $(X,Y)$ es invariable por la rotación alrededor del eje z) esta probabilidad puede ser calculada geométricamente (piense en cortar un pastel, siendo el pastel la densidad bivariada) : es igual a $1/8$ . El resultado final es el siguiente $1/4$ .
Su descomposición es correcta. Voy a mostrar aquí el cálculo para un término: \begin {align*} P(W_t < 0, W_{2t} >0) &= P(W_t < 0, W_{2t}-W_t > -W_t) \\ &= E \Big (E \big ( \mathbb {1}_{{W_t < 0\}} \mathbb {1}_{{W_{2t}-W_t > -W_t\}} \mid W_t \big ) \Big ) \\ &= E \Big ( \mathbb {1}_{{W_t < 0\}} \Phi\big (W_t/ \sqrt {t} \big ) \Big ) \\ &=E \Big ( \mathbb {1}_{{W_t/}} \sqrt {t} < 0\}} \Phi\big (W_t/ \sqrt {t} \big ) \Big ) \\ &= \int_ {- \infty }^0 \phi (x) \Phi (x) dx \\ &= \frac {1}{2} \Phi (x)^2 \mid_ {- \infty }^0 \\ &= \frac {1}{8}, \end {align*} donde \begin {align*} \phi (x)= \frac {1}{ \sqrt {2 \pi }} e^{- \frac {x^2}{2}} \end {align*} es la densidad de una variable aleatoria normal estándar, y $\Phi(x)$ es la función de distribución acumulativa.
En la primera línea $P(W_t < 0, W_{2t} >0) = E(W_t < 0, W_{2t}-W_t > -W_t),$ ¿por qué se cambia la probabilidad por la expectativa? ¿Qué resultado está utilizando?
Sí, soy consciente de esta igualdad. Pero no hay ninguna función indicadora en $E[W_t<0, W_{2t} - W_t > - W_t].$
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Parece una tarea. ¿Qué has probado? Probablemente quieras usar el hecho de que $W$ tiene incrementos independientes.
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Esto es conceptualmente simple, pero puede necesitar algunos cálculos tediosos.
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He tratado de resolver como: $P(W_{t}*W_{2t}<0)=P(W_{t}<0,W_{2t}>0)+P(W_{t}>0,W_{2t}<0)=$$ P(W_{2t}>0|W_{t}<0)P(W_{t}<0)+P(W_{2t}<0|W_{t}>0)P(W_{t}>0)=P(W_{2t}-W_{t}+W_{t}>0|W_{t}<0)P(W_{t}<0)+P(W_{2t}-W_{t}+W_{t}<0|W_{t}>0)P(W_{t}>0)$.
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No tengo ni idea de cómo continuar, ¿hay alguna pista? ¿O hay alguna otra solución?