pregunta de probabilidad sobre el movimiento browniano

Question

Supongamos que $W_{t}$ es un movimiento browniano estándar, calcula la probabilidad de que $W_{t}*W_{2t}$ es negativo, es decir, $P(W_{t}*W_{2t}<0)$ . Me resulta difícil calcular la probabilidad. Gracias.

Answer 1

Desde $W_{2t}-W_{t}$ es independiente de $W_t$ y tiene la misma ley que $W_{2t-t}=W_t$ sólo tenemos que calcular $$P(X(X+Y)<0)$$ donde $(X,Y)$ sigue una distribución normal bivariada (con correlación cero). A partir de ahí se puede dividir la probabilidad en dos casos : o bien $X<0$ y $X+Y>0$ o lo contrario. Los dos eventos tienen la misma probabilidad ya que $(-X,-Y)\sim (X,Y)$ . Queda el cómputo de $$P(X<0,X+Y>0)$$ ya que la distribución de $(X,Y)$ es invariable por la rotación alrededor del eje z) esta probabilidad puede ser calculada geométricamente (piense en cortar un pastel, siendo el pastel la densidad bivariada) : es igual a $1/8$ . El resultado final es el siguiente $1/4$ .

Answer 2

Su descomposición es correcta. Voy a mostrar aquí el cálculo para un término: \begin {align*} P(W_t < 0, W_{2t} >0) &= P(W_t < 0, W_{2t}-W_t > -W_t) \\ &= E \Big (E \big ( \mathbb {1}_{{W_t < 0\}} \mathbb {1}_{{W_{2t}-W_t > -W_t\}} \mid W_t \big ) \Big ) \\ &= E \Big ( \mathbb {1}_{{W_t < 0\}} \Phi\big (W_t/ \sqrt {t} \big ) \Big ) \\ &=E \Big ( \mathbb {1}_{{W_t/}} \sqrt {t} < 0\}} \Phi\big (W_t/ \sqrt {t} \big ) \Big ) \\ &= \int_ {- \infty }^0 \phi (x) \Phi (x) dx \\ &= \frac {1}{2} \Phi (x)^2 \mid_ {- \infty }^0 \\ &= \frac {1}{8}, \end {align*} donde \begin {align*} \phi (x)= \frac {1}{ \sqrt {2 \pi }} e^{- \frac {x^2}{2}} \end {align*} es la densidad de una variable aleatoria normal estándar, y $\Phi(x)$ es la función de distribución acumulativa.