Real Positivo Autovalor, pero Estable Dinámica

Question

ACTUALIZACIÓN
Yo no estaba pensando en derecho más y se hizo totalmente confundido después de las horas de trabajo en mi ecuaciones. El punto es que tengo un sistema inestable, pero me fuerza en la senda estable. Después de darse cuenta de que el punto crucial de todo lo hizo perfecto sentido.

Problema

(He arreglado algunos errores importantes)

Estoy teniendo un dos dimensiones del sistema con la dinámica de \begin{align} \dot{k} &= \frac{1}{1+\frac{1}{\rho}} - \frac{1}{1+\lambda}\\ \dot{\lambda} &= \rho\lambda - \frac{1}{k}. \end{align} Donde $k\in[0,2]$ es el estado, y $\lambda$ el costate. Hay un (simétrica) de punto fijo $E(\tilde{k},\tilde{\lambda})$ en $\tilde{\lambda} = \frac{1}{k\rho}$, que produce $\tilde{k}=1$. La Jacobiana en el punto fijo está dada por \begin{align} J_E = \begin{bmatrix}0,& \frac{1}{\left(\frac{1}{\rho}+1\right)^2}\\ 1,& \rho\end{bmatrix}_E \end{align} Tengo dos valores propios que son de signo opuesto \begin{align} (\mu_1,\mu_2)=\left(\frac{p(p + \sqrt{p^2 + 2p + 5}+ 1}{2(p + 1)},\frac{p(p - \sqrt{p^2 + 2p + 5}+ 1}{2(p + 1)}\right) \end{align} donde $\rho\in\mathbb{R}_{++}$ (tasa de preferencia temporal). El primer autovalor es siempre positiva ($\mu_1>0$) y el segundo es siempre negativo ($\mu_2<0$). Por lo que es inestable silla, ¿verdad? No obstante, el sistema es estable. ¿Cómo es eso posible, porque yo solía pensar que debe ser inestable? La imagen muestra la evolución del estado y el control, que es una función de la costate. ($\rho = 0.05$)

Para referencia que agregar figuras con $\rho=2,5$. La primera parece converger a un diferente punto fijo $k<1$ (yo no resolver para que uno, porque yo lidiar con una situación simétrica; creo que hay tres en total).

Y la segunda imagen muestra un atractor extraño? Que de hecho, me gusta bastante la causa de su caótica estabilidad. Por $k\in[0,3]$ la política de la función $\tau_1(k)$ es bastante raro.

Answer 1

Si usted está tratando de discretizar el modelo de tiempo continuo $$ \dot{\textbf{x}} = A\textbf{x}, $$ a continuación, en tiempo discreto que se han $$ \textbf{x}_{t+1} = B \textbf{x}_t $$ pero $A\neq B$, desde $Un$ describe el cambio en $\textbf{x}$ mientras $B$ describe el siguiente valor de $\textbf{x}$, no sólo el cambio. Sin embargo $$ \Delta\textbf{x}_t = \textbf{x}_{t+1} - \textbf{x}_t = B \textbf{x}_t - \textbf{x}_t = (B-I) \textbf{x}_t $$ Esta nueva matriz $B-I$ correspondería a $A$.

(De esto también se puede ver por qué el criterio de estabilidad es diferente).

Dadas sus ecuaciones \begin{eqnarray*} \dot{k} & = & \frac{1}{1+\frac{1}{\rho}} - \frac{1}{1+\lambda} \\ \\ \dot{\lambda} & = & \rho \lambda - \frac{1}{k} \end{eqnarray*} las ecuaciones para el discretos modell sería \begin{eqnarray*} k_{t+1} & = & k_t + \frac{1}{1+\frac{1}{\rho}} - \frac{1}{1+\lambda_t} \\ \\ \lambda_{t+1} & = & \lambda_t + \rho \lambda_t - \frac{1}{k_t}. \end{eqnarray*} Usted tendrá que calcular el Jacobiano de este sistema para determinar la estabilidad.

Answer 2

Me parece que el sistema es una silla de ruta estable.

La configuración de $z\equiv 1/k$ obtenemos

\begin{eqnarray*} \dot{z} & = & -z^2\left(\frac{\rho}{1+\rho} - \frac{1}{1+\lambda}\derecho) \\ \\ \dot{\lambda} & = & \rho \lambda - z \end{eqnarray*}

El punto fijo es $E=\{z^*, \lambda^*\} = \{1, 1/\rho\}$

El Jacobiano de este sistema evaluado en el estado estacionario es

\begin{align} J_E = \begin{bmatrix}0& -\frac{\rho^2}{(1+\rho)^2}\\ -1& \rho\end{bmatrix} \end{align}

El factor determinante es

$${\rm det}(J_E) = 0-\frac{\rho^2}{(1+\rho)^2} < 0$$

y cuando el determinante de la Jaconbian en un dos-por-dos del sistema es negativo, el sistema es una silla de ruta estable (por lo tanto, matemáticamente hablando, inestable), independientemente de si la traza de la Jacobiana (aquí igual a $\rho>0$) es positiva, negativa o cero.

Tal vez esto podría ser útil.