Si $a$ y $b$ son dos estrategias puras racionalizables, puede $0.5a+0.5b$ ¿no es una estrategia racionalizable?

Question

Es fácil ver que si $\sigma$ es una estrategia racionalizable mixta, entonces una estrategia pura $a$ tal que $\sigma(a)>0$ también es racionalizable, pero parece que no a la inversa.

Para un juego finito de dos jugadores, sea $P_1$ sea el conjunto de todas las estrategias racionalizables puras del jugador 1, entonces el conjunto de sus estrategias racionalizables es simplemente $\Delta(P_1)$ que puede verse como un corolario de la equivalencia de la dominancia estricta iterada y la racionalizabilidad para juegos finitos de dos jugadores.

¿Cuál es un ejemplo de juego finito con más de dos jugadores tal que el conjunto de estrategias racionalizables es estrictamente menor que la extensión mixta del conjunto de estrategias racionalizables puras?

Answer 1

Sí. Consideremos un juego de dos jugadores descrito por la siguiente matriz

\begin{array}{|c|c|c|} \hline & L & R \\ \hline a & 3,0 & 0,0 \\ \hline b & 0,0 & 3,0 \\ \hline c & 2,0 & 2,0 \\ \hline \end{array}

Si sólo se permiten estrategias puras, sólo $a$ y $b$ son racionalizables porque son las mejores respuestas a $L$ y $R$ mientras que $c$ no es la mejor respuesta a nada. Pero si nos fijamos en la extensión mixta del juego entonces $c$ domina estrictamente 0,5 $a$ +0.5 $b$ por lo tanto, 0,5 $a$ +0.5 $b$ no es racionalizable. Como resultado, en la extensión mixta todos $a$ , $b$ y $c$ son racionalizables.

Si insistes en un ejemplo con tres jugadores puedo añadir un tercero. Este tercer jugador tiene exactamente una estrategia posible, por lo que en realidad no importa cuáles son sus pagos y lo que hace.
Si crees que eso es hacer trampas, el tercer jugador puede tener múltiples estrategias que no influyen en absoluto en el resultado de los dos primeros jugadores.