La expectativa de $\frac {S_{T_2}} {S_{T_1}}$ en $T_0$

Question

Es mi siguiente cálculo correcto (suponiendo plana volatlity el modelo Black Scholes, plana de la curva de tipos de interés):

$\mathbb{E}(\frac {S_{T_2}} {S_{T_1}}| \mathcal{F}_{T_0})$

$ = \mathbb{E}{\frac{S_{T_0}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})T_2+\sigma W_{T_2}}}{S_{T_0}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})T_1+\sigma W_{T_1}}}}$

$=\mathbb{E} e^{i(T_2-T_1)-\frac{1}{2}\sigma^2(T_2-T_1)+\sigma(W_{T_2}-W_{T_1})})$

$=e^{i(T_2-T_1)-\frac{1}{2}\sigma^2(T_2-T_1)+\frac{1}{2}\sigma^2(T_2-T_1)}$

$ = e^{i(T_2-T_1)}$

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EDIT: ¿alguien Puede por favor, vuelva a confirmar uno de los pasos anteriores? $\mathbb{E} e^{i(T_2-T_1)-\frac{1}{2}\sigma^2(T_2-T_1)+\sigma(W_{T_2}-W_{T_1})})$ $=e^{Media(.) + \frac{1}{2}Varianza(.)}$ $Media(.) = r(T_2-T_1)-\frac{1}{2}\sigma^2(T_2-T_1)$ $Varianza(.) = \mathbb{E}[\{\sigma(W_{T_2}-W_{T_1})\}^2]=\mathbb{E}[\sigma^2\{(W_{T_2})^2 +(W_{T_1})^2 -2W_{T_1}W_{T_2}\}]=\sigma^2(T_2+T_1-2T_1) = \sigma^2(T_2-T_1)$

Yo creo que lo tengo todo correcto, ahora! :-)

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Relacionados con la Pregunta - ¿tenemos una fórmula analítica (en virtud de la norma de Black Scholes) por

$\mathbb{E}((\frac {S_{T_2}} {S_{T_1}}-K)^+| \mathcal{F}_{T_0})$ pagados a $T_2$

Mi intento .. básicamente mediante el Black Scholes fórmula de fijación de precios de opción call -

$\mathbb{E}((\frac {S_{T_2}} {S_{T_1}}-K)^+| \mathcal{F}_{T_0}) = e^{i(T_2-T_1)}N(d_1) KN(d2)$

donde $d_1= \frac{\ln(\frac{e^{i(T_2-T_1})}{K})+\frac {\sigma^2(T_2-T_1)}{2})}{\sigma \sqrt(T_2-T_1)}$

$d_2= \frac{\ln(\frac{e^{i(T_2-T_1})}{K})-\frac {\sigma^2(T_2-T_1)}{2})}{\sigma \sqrt(T_2-T_1)}$

Me gustaría múltiples con el factor de descuento $e^{-r (T_2-T_0)}$ con la fórmula anterior para obtener el precio en $T_0$.

Answer 1

Una expectativa que no puede existir para los valores de renta variable. La distribución de $$\frac{S_{T_2}}{S_{T_1}}$$ es la distribución de Cauchy para valores de renta variable, suponiendo que no hay costos de liquidez como con Black-Scholes, sin fusiones y sin posibilidad de quiebra.

A partir de la teoría de la subasta, sabemos que no hay ningún ganador de la maldición en una doble subasta. Comportamiento racional de los actores es la oferta de sus expectativas. Si, como se supone en los modelos como el CAPM o Black-Scholes, que hay muchos compradores y vendedores, entonces se sigue que la distribución de los precios de $S_{T_t}$ es la distribución normal mediante la extensión del teorema del límite central.

Si luego de asumir también precios de equilibrio existe y que la seguridad está en equilibrio, excepto para los impactos aleatorios, entonces podríamos tratar a los precios como normalmente distribuidos alrededor del precio de equilibrio $S_{T_t}^*.$

Porque la distribución es la distribución de la proporción de dos aleatorio de los precios, la solución de que es bien conocido en la literatura estadística. Es complicado, ligeramente, por el hecho de que la integración debe ser de alrededor de $(S_{T_1}^*,S_{T_2}^*)$ y que los precios se truncan a -100%. De hecho, la proporción de cualquiera de las dos distribuciones elípticas producirá el mismo resultado.

Cuando el factor de truncamiento, la distribución es $$\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(r-\mu)^2},\gamma=\frac{\sigma_2}{\sigma_1},r=\frac{S_2}{S_1}.$$ La expectativa de que la relación no existe como la integral diverge.

Ver http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

La razón por la que el Black-Scholes ecuaciones trabajo es que los parámetros se supone que se conocen con perfecta certeza y la distribución se asume a la existencia.

Si usted tiene que hacer cualquier forma de estimación de los parámetros, entonces no hay nada en Black-Scholes puede sostener como verdadera.

Black-Scholes viene aparte por varias razones en este caso. Este caso es bien conocido en la literatura estadística. Hay una amplia gama de cuestiones. La distribución carece de una estadística suficiente para la estimación de parámetros, dejando a usted, en la mayoría de los casos a la estadística Bayesiana, a menos que usted se va a tomar la pérdida de información. La estimación de la media y, por tanto, la varianza es de potencia cero. Un tamaño de muestra de un millón de ha la estimación de la potencia como el tamaño de la muestra de uno.