Ecuación de expectativas neutrales al riesgo con costes de garantía y financiación

Question

Estoy viendo un artículo de V. Piterbarg, Financiación más allá del descuento: acuerdos de garantía y precios de los derivados que puede descargar en la siguiente dirección enlace en el que el autor adapta el marco de fijación de precios de Black-Scholes para introducir garantías y financiación a un tipo no exento de riesgo.

Dejar $V_t \equiv V(t)$ y $C_t \equiv C(t)$ Tengo problemas para pasar de la ecuación $(3)$ ...

$$V_t = E_t \left[ e^{-\int_t^Tr_F(u)du}V_T+\int_t^Te^{-\int_t^ur_F(v)dv}\left( r_F(u)-r_C(u)\right) C_u \ du \right]$$

... a la ecuación $(5)$ :

$$V_t = E_t \left[ e^{-\int_t^Tr_C(u)du}V_T\right]-E_t \left[\int_t^Te^{-\int_t^ur_C(v)dv}\left( r_F(u)-r_C(u)\right) \left(V_u-C_u\right)du \right]$$

Según el autor, para pasar de $(3)$ a $(5)$ sólo tenemos que " reordenar los términos ".

¿Alguien puede mostrar cómo pasar de uno a otro?

Answer 1

Una derivación consiste en sustituir $V_u$ en la ecuación $(5)$ utilizando la expresión dada por la Ecuación $(3)$ y luego trabajar para alcanzar $(5)$ ; véase el Apéndice A en este documento para más detalles. Aquí, proporcionamos otra derivación. Véase también esta pregunta .

Recordamos que, desde $(2)$ de Piterbarg , $$\begin{align*} V_t = \Delta (t) S(t) + \gamma(t), \end{align*}$$ donde $\Delta (t)= \frac{\partial V(t)}{\partial S}$ y $\gamma(t)$ es la cuenta de efectivo que satisface $$\begin{align*} d\gamma(t) &= \big[r_C(t) C(t) + r_F(t)(V(t)-C(t))-(r_R(t)-r_D(t))\Delta(t)S(t) \big]dt\\ &=\big[r_F(t)V(t) + (r_C(t)-r_F(t)) C(t)-(r_R(t)-r_D(t))\Delta(t)S(t) \big]dt. \end{align*}$$ Además, según la ecuación $(4)$ en el papel, $$\begin{align*} dS(t)/S(t) = (r_R(t)-r_D(t))dt + \sigma_S(t) dW_S(t). \end{align*}$$ Entonces, desde la condición de autofinanciación, $$\begin{align*} dV_t &= \Delta (t) dS(t) + d\gamma(t)\\ &=\big[r_F(t)V_t + (r_C(t)-r_F(t)) C(t)\big]dt + \Delta (t)S(t)\sigma_S(t) dW_S(t). \tag{*} \end{align*}$$

Desde $(*)$ , $$\begin{align*} d\left(e^{-\int_0^t r_F(v)dv}V_t \right) &=-r_F(t)e^{-\int_0^t r_F(v)dv}V_tdt + e^{-\int_0^t r_F(v)dv}dV_t\\ &=e^{-\int_0^t r_F(v)dv}\big[(r_C(t)-r_F(t)) C(t)dt + \Delta (t)S(t)\sigma_S(t) dW_S(t)\big]. \end{align*}$$ Por lo tanto, $$\begin{align*} e^{-\int_0^T r_F(v)dv}V_T-e^{-\int_0^t r_F(v)dv}V_t &=\int_t^Te^{-\int_0^u r_F(v)dv}\big[(r_C(u)-r_F(u)) C(u)du\\ &\qquad + \int_t^T\Delta (u)S(u)\sigma_S(u) dW_S(u). \end{align*}$$ Tomando la expectativa condicional con respecto a $\mathscr{F}_t$ en ambos lados, obtenemos que $$\begin{align*} E_t\left(e^{-\int_0^T r_F(v)dv}V_T \right)-e^{-\int_0^t r_F(v)dv}V_t &=E_t\left(\int_t^Te^{-\int_0^u r_F(v)dv}\big[(r_C(u)-r_F(u)) C(u)du\right), \end{align*}$$ lo que lleva a la ecuación $(3)$ sur Piterbarg Es decir, $$\begin{align*} V_t &= E_t\left(e^{-\int_t^T r_F(v)dv}V_T + \int_t^Te^{-\int_t^u r_F(v)dv}\big[(r_F(u)-r_C(u)) C(u)du\right)\tag{3} \end{align*}$$

To derive Equation $(5)$, we note that, from $(*)$ above, by rearranging terms, $$\begin{align*} dV_t &= \big[r_F(t)V_t + (r_C(t)-r_F(t)) C(t)\big]dt + \Delta (t)S(t)\sigma_S(t) dW_S(t)\\ &=\big[r_C(t)V_t + (r_F(t)-r_C(t))(V_t -C(t))\big]dt + \Delta (t)S(t)\sigma_S(t) dW_S(t).\tag{**} \end{align*}$$ As above, $$\begin{align*} d\left(e^{-\int_0^t r_C(v)dv}V_t \right) &=-r_C(t)e^{-\int_0^t r_C(v)dv}V_tdt + e^{-\int_0^t r_C(v)dv}dV_t\\ &=e^{-\int_0^t r_C(v)dv}\big[(r_F(t)-r_C(t))(V_t -C(t))dt + \Delta (t)S(t)\sigma_S(t) dW_S(t) \big], \end{align*}$$ and, consequently, $$\begin{align*} E_t\left(e^{-\int_0^T r_C(v)dv}V_T \right) -e^{-\int_0^t r_C(v)dv}V_t&=E_t\left( \int_t^Te^{-\int_0^u r_C(v)dv}\big[(r_F(u)-r_C(u))(V_u -C(u))du\right), \end{align*}$$ which leads to Equation $(5)$ en Piterbarg inmediatamente, es decir, $$\begin{align*} V_t =E_t\left(e^{-\int_t^T r_C(v)dv}V_T \right) - E_t\left(\int_t^Te^{-\int_t^u r_C(v)dv}\big[(r_F(u)-r_C(u))(V_u -C(u))du \right). \tag{5} \end{align*}$$