cambio esperado en el valor de un derivado en un marco multicurvos

Question

Estoy leyendo Piterbarg de papel, "Financiación más allá de descuento: los acuerdos de garantía y fijación de precios de derivados." y tengo una pregunta acerca de la ecuación $(6)$. Allí se dice que para que un derivado tenemos

$$E_t[dV_t]=(r_F(t)V(t)-(r_F(t)-r_C(t))C(t))dt = (r_F(t)V(t)-s_F(t)C(t))dt$$

donde $C(t)$ monto en garantía, $r_F$ corto de la tasa para la financiación no garantizada, $r_C$ el corto de la tasa para la tasa libre de riesgo que corresponde a la más segura garantía disponible, dinero en efectivo y $s_F(t)$ es la financiación de la propagación $r_F-r_C$. Por qué está por encima de la primera fórmula para el cambio esperado en la derivada verdad?

Answer 1

autofinanciadas de la cartera le dará :

$$ dV_t = r_F(t) \underbrace{(V(t)-C(t) - \Delta S_t )}_{\text{la posición de caja}} dt + r_C(t) \underbrace{C(t)}_{\text{garantías aportadas}} dt + \underbrace{\Delta dS_t}_{\text{mercado se mueve}} $$

luego de recuperar su ecuación usando ese bajo riesgo-neutral medida : $$\mathbb{E}[dS_t|\mathcal{F}_t]=r_F(t)S_tdt$$

Answer 2

De $(2)$ de Piterbarg, \begin{align*} V(t) = \Delta (t) S(t) + \gamma(t), \end{align*} donde $\Delta (t)= \frac{\partial V(t)}{\partial S}$ y $\gamma(t)$ es la cuenta de efectivo que satisfaga \begin{align*} d\gamma(t) &= \big[r_C(t) C(t) + r_F(t) V(t)-C(t))-(r_R(t)-r_D(t))\Delta(t)S(t) \big]dt\\ &=\big[r_F(t)V(t) + (r_C(t)-r_F(t)) C(t)-(r_R(t)-r_D(t))\Delta(t)S(t) \big]dt. \end{align*} Por otra parte, en base a la Ecuación $(4)$ en el papel, \begin{align*} dS(t)/S(t) = (r_R(t)-r_D(t))dt + \sigma_S(t) dW_S(t). \end{align*} Luego, a partir de la auto-financiación de la condición, \begin{align*} dV(t) &= \Delta (t) dS(t) + d\gamma(t)\\ &=\big[r_F(t)V(t) + (r_C(t)-r_F(t)) C(t)\big]dt + \Delta (t)S(t)\sigma_S(t) dW_S(t). \etiqueta{E1} \end{align*} Es obvio ahora que \begin{align*} E_t(dV(t)) = \big[r_F(t)V(t) + (r_C(t)-r_F(t)) C(t)\big]dt. \end{align*}

Tenga en cuenta que las Fórmulas de $(3)$ y $(5)$ en Piterbarg también pueden ser derivados directamente de la Ecuación $({\rm E}1)$ de arriba.