Fórmula de CVA para una opción de compra

Question

Tengo una pregunta muy rápida. Supongamos que compro una opción de compra europea de la parte S con vencimiento $T$ . Quiero determinar la fórmula general para el CVA de la opción, en el momento $t$ . Si dejo que $T_1 \leq T$ ser el tiempo por defecto de $S$ y yo denoté por $ \xi =S$ el evento predeterminado de $S$ (sigo aquí la notación de Quantitative Risk Management de McNeil, Frey, Embrechts, Capítulo 17), y denoto por $c(t,T)$ el precio de la opción en el momento, sin riesgos ni incumplimientos (Black-Scholes) $t$ es la siguiente fórmula correcta: $$ CVA(t) = LGD \cdot\mathbb E^Q[ \mathbb 1_{\{T_1 \leq T\}} \cdot\mathbb 1_{\{ \xi =S\}}D(t,T_1)c(T_1,T) | \mathcal F_t] ? $$

Mi punto aquí es que la evaluación del flujo de efectivo esperado libre de defectos de la opción es sólo el precio de la opción en el momento $t$ y como esto no puede ser negativo, el término $c(T_1,T)$ es siempre positivo, así que no hay necesidad de tomar su parte positiva.

Entonces, ¿mi fórmula de arriba es correcta?

Answer 1

No hay necesidad de sobrecompletar las cosas. El CVA te da simplemente la cantidad que esperas perder si y cuando tu contraparte incumple, descontada a hoy.

En tu caso, estás comprando una opción. Así que, ya has pagado una prima pero aún esperas recibir el pago al vencimiento. En cierto sentido, tu contraparte te debe el pago y puedes perder esta cantidad en caso de incumplimiento.

Asumiendo que la LGD es constante, y que las probabilidades por defecto de la contraparte y el valor de la llamada son independientes, el CVA puede expresarse de la siguiente manera: $$ \mathrm {CVA} = LGD \int_0 ^T \mathbb {E} [ D(0,t) c(t,T) ] dPD(0,t)$$ Que se puede discretizar de la siguiente manera ( $t_0 = 0, \dots \ , t_n = T$ ): $$ \mathrm {CVA} \approx LGD \sum_ {i=0}^{n-1} \mathbb {E} [ D(0,t_i) c(t_i,T) ] PD(t_i,t_{i+1}) \\ $$ Por lo tanto, es igual a la suma del valor de llamada esperado en cada etapa temporal (hasta su vencimiento), ponderado por la probabilidad de incumplimiento de la contraparte durante esta etapa.