Optimización utilizando la función de valor

Question

Tengo el siguiente problema de optimización:

max $E_{0}\sum_{t=0}^{\infty}[log(c_{t}) + log(m_{t})]$ sujeto a $y + \frac{M_{t-1}}{p_{t}} + R_{t-1}\frac{B_{t-1}}{p_{t}} = c_{t} + m_{t}+b_{t}+\tau_{t}$

Donde las letras minúsculas indican variables reales y $R$ es la tasa de interés nominal bruta.

Estoy tratando de resolver esto utilizando el enfoque de la función de valor, pero me está costando entender cuál debería ser la variable de estado en este caso. Intenté usar la riqueza como estado y formulé la siguiente función de valor:

$V(a_{t}) = \max_{c_{t}, m_{t},b_{t}} [u(c_{t},m_{t}) + \beta V(a_{t+1})]$

donde $a_{t} = y+ \frac{M_{t-1}}{p_{t}} + R_{t-1}\frac{B_{t-1}}{p_{t}} $ y se supone que los valores iniciales están dados. Ahora mi problema es que no sé qué sustituir por $a_{t+1}$. He intentado sustituir el lado izquierdo de la restricción presupuestaria (es decir $a_{t+1} = y + \frac{m_{t}}{\pi_{t+1}} + R_{t} \frac{b_{t}}{\pi_{t+1}})$ y luego diferenciar con respecto a c, m y b pero mis resultados son muy extraños. Además, si he entendido correctamente, también tengo que encontrar $V_{a}(a_{t})$ lo cual no puedo hacer con esta sustitución.

Estoy tratando de aprender esto utilizando el libro de Walsh y en su ejemplo, la restricción presupuestaria tiene capital que aparece en ambos lados, lo que le permite reescribir el capital como una función de $a_{t}$. Traté de hacer lo mismo pero con saldos reales;

De la restricción presupuestaria puedo escribir $m_{t} = a_{t}-c_t-b_t-\tau_t$

Entonces, $V(a_{t}) = [u(c_{t},m_{t}) + \beta V(y + \frac{a_{t}-c_t-b_t-\tau_t}{\pi_{t+1}}) + R_{t} \frac{b_{t}}{\pi_{t+1}} ]$

Nuevamente diferencio respecto a c, m y b y esta vez mis resultados parecen menos locos pero aún no son correctos. Obtengo:

(c) $u_{c} - \beta V_{a}(a_{t+1})[\frac{1}{\pi_{t+1}}] = 0$

(m) $u_m + \beta V_{a}(a_{t+1})[\frac{1}{\pi_{t+1}}] = 0$

(b) $\beta V_{a}(a_{t+1})[\frac{R_{t}}{\pi_{t+1}} - \frac{1}{\pi_{t+1}}] = 0$

Y por último, $V_{a}(a_{t}) = \beta V_{a}(a_{t+1})[\frac{1}{\pi_{t+1}}] $

La condición final implica que $u_{c} = V_{a}(a_{t})$ lo cual es similar a la respuesta de Walsh pero no logro obtener una forma de la ecuación de Fisher y la función de demanda de dinero a partir de mis cálculos.

También está la condición de equilibrio $c_{t} = y-g$ pero no tengo idea de cuándo imponerla.

¿Alguna idea de lo que hice incorrectamente?

Answer 1

Comenzando con tu ecuación original:

$max_{c_t, m_t, b_t} E_0\sum_{t=0}^\infty U(c_t, m_t)$

tal que

(1) $y+\frac{m_{t-1}}{1+\pi_t}+\frac{1+i_{t-1}}{1+\pi_t}b_{t-1}=c_t+m_t+b_t+\tau_t$

Aquí: $R_{t-1} =1+i_{t-1}$ y $1+\pi_t=\frac{P_t}{P_{t-1}}$

Nota que en este problema, tienes dos variables de estado, $m_{t-1}$ y $b_{t-1}$, y tu principal problema ha sido que las has agrupado. tu función de Bellman debería ser:

$V(m_{t-1},b_{t-1})=max_{c_t, m_t, b_t} U(c_t,m_t)+E_t\beta V(m_t,b_t)$

tal que (1)

Aquí puedes usar tu restricción para deshacerte de un control, o puedes resolverlo usando el lagrangiano. Si usas tu restricción para sustituir a $c_t$, tu problema actualizado sería:

$V(m_{t-1},b_{t-1})=max_{m_t, b_t} U(c_t(y, m_{t-1}, b_{t-1},m_t, b_t, \tau _t),m_t)+E_t\beta V(m_t,b_t)$

Para aclarar:

$c_t(y, m_{t-1}, b_{t-1},m_t, b_t, \tau _t)=y+\frac{m_{t-1}}{1+\pi_t}+\frac{1+i_{t-1}}{1+\pi_t}b_{t-1}-m_t-b_t-\tau _t$

FOCs:

$[b_t]$: $-U_{c_t}+\beta E_tV_{b_t}=0 $

$[m_t]$: $-U_{c_t}+U_{m_t}+\beta E_tV_{m_t}=0$

Envolventes:

$[b_{t-1}]$: $U_{c_t}\frac{1+i_{t-1}}{1+\pi _t}\implies V_{b_t}=U_{c_{t+1}}\frac{1+i_t}{1+\pi _{t+1}}$

$[m_{t-1}]$: $U_{c_t}\frac{1}{1+\pi _t}\implies V_{m_t}=U_{c_{t+1}}\frac{1}{1+\pi _{t+1}}$

Deberías poder combinar estas ecuaciones para encontrar la demanda de dinero. Para mí, tu condición de equilibrio (junto con el hecho de que no hay capital presente en la configuración) implica que no hay ahorro en variables reales, y por lo tanto no tienes nada que pueda determinar la tasa de interés real, y por lo tanto careces de información para encontrar la ecuación de Fisher.

Answer 2

Gracias a @Boaten pude encontrar la solución. Para aquellos interesados, aquí están los pasos para derivar la relación de Fisher:

Combinando la FOC $[b_{t}]$ y el sobre para $[b_{t-1}]$ obtenemos

$U_{c_{t}} = \beta E_{t}\frac{U_{c_{t+1}}(1+i_{t})}{1+\pi _{t+1}}$ Suponiendo que la utilidad es logarítmica en ambos argumentos, esto se puede simplificar como

$\frac{c_{t+1}}{c_{t}} = \beta E_{t} \frac{1+i_{t}}{1+\pi _{t+1}}$

El autor asume que $c_{t} = y - g$, por lo tanto el lado izquierdo es 1. Así que obtenemos

$\frac{1}{R_{t}} = \beta E_{t}[\frac{1}{1+ \pi_{t+1}}]$, que es el resultado que buscaba.