Subastas con la afiliación

Question

Este problema es un ejemplo que se da en Vijay Krishna de la Subasta de la Teoría (2ª Edición, Capítulo 6, Ejemplo 6.2). El problema es el siguiente:

Supongamos que $S_1,S_2$y $T $ son uniformemente y de forma independiente distribuido en $[0,1]$. Hay dos postores.Postor 1 recibe la señal de $X1=S1+T$,y el postor 2 recibe la señal de $X_2=S_2+T$. El objeto tiene un valor común para ambos los licitadores, $V=(X_1+X_2)/2$.

Ahora, estamos obligados a encontrar la estrategia de la oferta para un primer precio de la subasta. El equilibrio de licitación de la función que le es dado como $\beta(x)=\int_0^xv(y,y) \,dL(y|x)$. $L(y|x)$ es más igual a $\exp(-\int_y^x\,\frac{g(t|t)}{G(t|t)}\,dt)$.

Tengo cuatro preguntas:

1. Cómo son $X_1$ y $X_2$ afiliados?
2. Cómo es $\frac{g(t|t)}{G(t|t)}$ calculados en este ejemplo?
3. ¿Cómo puedo encontrar la articulación de la densidad de $X_1$ y $X_2$?
4. ¿Cómo puedo encontrar la densidad condicional de $X_2$ dado que $X_1=x$?

Answer 1

1. En términos generales, a $X_1$ y $X_2$ están afiliados porque tienen el elemento común $T$. Es decir, si $X_1$ es grande, $X_2$ tiende a ser grande, porque una gran $X_1$ hace un gran $T$ más probabilidades de que sin esta información. Las variables están afiliados si para el conjunto de la densidad de $f_{X_1,X_2}$ $$f_{X_1,X_2} (x',y) f_{X_1,X_2} (x,y') \geq f_{X_1,X_2} (x,y) f_{X_1,X_2} (x',y') \quad \forall x\geq y, y'\geq y,$$
   lo que aquí se sostiene con la igualdad. Es decir, están débilmente afiliados. Ver a continuación.

2. En el libro de Krishna $G$ (resp. $g$) es generalmente de la CDF (resp. la densidad) del mayor valor entre el resto de licitadores, $Y_1$. Aquí, sólo hay otro postor tales que $Y_1=X_2$ y $g(y|x) = f_{X_2|X_1=x}(y |x)$.

Ahora, mis respuestas solo te ayuda si usted sabe cómo encontrar la articulación de la densidad. Aquí es lo que queremos encontrar:

Así que, ¿cómo llegar?

3. $S_1,S_2, T$ se yo.yo.d. dibuja a partir de la distribución uniforme. Consideremos primero la articulación de CDF de $X_1, X_2$ condicional en $T=t$. Que es fácil, porque son independientes ahora! Una vez que tenemos este condicional CDF, utilizamos el $$F_{X_1,X_2} (x,y) = \int_0^1 F_{X_1,X_2|T=t}(x,y|t) f_T (t) dt,$$ donde $f_T(t)= 1$ si $t\in [0,1]$ y $f_T(t)= 0$lo contrario. Entonces, tomamos derivados con respecto a $x$ y $y$ a encontrar $f_{X_1,X_2}(x,y)$. Esto debe verse como lo que Krishna tiene en su imagen o, alternativamente, como la función en el apéndice de Avery (ReStud 1998), donde el ejemplo es de (supongo). Estos cálculos son engorroso trabajar con un montón de caso distinciones y por lo tanto es fácil echar a perder, pero empezar con $$F_{X_1,X_2|T=t}(x,y|t) = \mbox{Pr}(X_1<x,X_2<y|T=t) = \mbox{Pr}(S_1<x-t,S_2<y-t)$$ y, a continuación, prestar atención a la compatibilidad de la distribución uniforme. El CDF es $F_{S_1}(s)=s$ para $s\in [0,1]$ y cero para los más pequeños $s$ y uno de los más grandes $s$.

Tomemos un ejemplar de la región, $y>x>1$: $$F_{X_1,X_2}(x,y) = \int_0^{x-1} 1 dt + \int_{x-1}^{y-1}(x-t)dt+ \int_{y-1}^1 (x-t)(y-t)dt,$$ lo que nos da algo de que Mathematica dice que tiene un derivateive $\partial x \partial y$ igual $2-$ y. Ahora, podemos comprobar una de las regiones de Krishna de la gráfica. Uno más para la diversión, si $x<y<1$, $$f_{X_1,X_2}(x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \left( \int_0^x (x-t)(y-t) dt + \int^1_x 0 dt \derecho) = x.$$ Y así sucesivamente. Ahora, usted puede ir de nuevo a mi respuesta 1.

4. La densidad condicional de está dada por la ecuación $$f_{X_1,X_2} (x,y) = f_{X_1|X_2=y} (x|y) f_{X_2} (y),$$ donde $$f_{X_2}(y) = \begin{casos} y &\mbox{si } y \in [0,1] \\ 2-y &\mbox{si } y \in [1,2], \end{casos} $$ que se deduce del hecho de que $X_2 =S_2+T$, y $S_2$ y $T$ , de manera independiente, distribuidos de manera uniforme. Llegar con convolución. Lo que se obtiene debe tener este aspecto de la trama de la Avery papel

A continuación, integrar a encontrar $G(y|x)$ y volver a mi respuesta 2.