Ejemplos económicos de (sub)martingalas

Question

Una martingala (en tiempo discreto) es un proceso estocástico $\{X_t\}_{t\in\mathbb N}$ que satisfaga, para todo $t\in\mathbb N$ , $$ E(|X_t|)<\infty $$ et $$ E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t=X_t. $$ Y un submartingale es uno con $E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t\ge X_t$ .

Conozco el ejemplo clásico de la retribución del jugador en un juego limpio. Pero espero encontrar otros ejemplos de martingalas y submartingalas en el mundo real, sobre todo en el ámbito de la economía. Lo ideal sería que estos ejemplos tuvieran algún tipo de respaldo empírico.

Answer 1

Aplicación de la ley de las expectativas iteradas a la propiedad definitoria de una sub-martingala $E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t）\ge X_t$ tenemos que

$$E\Big[E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t)\Big]=E(X_{t+1}) \geq E(X_t)$$

Por tanto, un submartingale tiene también su incondicional valor esperado no decreciente. Por lo tanto, cualquier variable económica que parezca aumentar consistentemente de valor es candidata a ser una sub-martingale, ya que la propiedad definitoria aquí sólo condiciona el pasado de la variable, no otros factores que puedan influir en ella. La Producción Nacional/PIB podría modelizarse razonablemente como una sub-martingala, ya que históricamente "siempre" aumenta, salvo acontecimientos catastróficos.

En general, cualquier variable económica que pueda modelizarse como un paseo aleatorio con deriva no negativa,

$$X_{t+1} = \alpha + X_{t} + u_t,\;\; \alpha \geq 0$$

es un submartingale.