En parte porque es difícil de conseguir, el documento de Arslan et. al. está empezando a adquirir proporciones míticas.
Como dijo Dimitri Vulis, la idea general del documento se establece en (uno o dos de) los documentos de Peter Carr.
Para beneficio del OP y otros, intentaré resumir los puntos más relevantes del documento a continuación y también señalar las suposiciones subyacentes en él. Las notas a continuación deberían ser suficientes para que cualquier persona pueda implementar el modelo GVV:
Supongamos el siguiente modelo de volatilidad estocástica (local) para un activo $S$, \begin{equation} dS(t) = \sigma(t) S(t) dW(t) \end{equation} No es necesario especificar la dinámica de $\sigma(t)$. Aunque he asumido una tasa de interés y un rendimiento de dividendos cero, es fácil repetir los argumentos a continuación con una tasa de interés y un rendimiento de dividendos deterministas.
Supongamos que se negocian al menos 3 opciones vainilla sobre $S$. Que $C^{BS}(S,K,\Sigma(S,K))$ denote el precio de mercado de dicha opción. El cambio en el precio de mercado de cualquier opción de strike $K$ es $$ dC^{BS} = \Delta^{BS} dS + \nu^{BS} d\Sigma + \frac{1}{2} \Gamma^{BS} S^2 ( \sigma^2 - \Sigma^2) dt + \frac{1}{2} vo^{BS} (d\Sigma)^2 + va^{BS} dS d\Sigma $$
Ahora sigamos tres suposiciones cruciales del modelo GVV:
- $E[d\Sigma] = 0$ para todos los strikes $K$: es decir, todas las volatilidades implícitas son martingalas locales
- $\frac{dS}{S} \frac{d\Sigma}{\Sigma} = \eta \sigma \rho \, dt$ para todos los strikes $K$: es decir, todas las volatilidades implícitas tienen la misma correlación con $S$
- $ (\frac{d\Sigma}{\Sigma})^2 = \eta^2 \, dt$ para todos los strikes $K$: es decir, todas las volatilidades implícitas tienen la misma volatilidad
Estas son claramente suposiciones muy fuertes (y mostraré a continuación que la suposición 1. en particular no puede ser cierta). Sin embargo, sigamos adelante con ellas por el momento.
Dado que las opciones son negociables, son martingalas locales. En otras palabras, $$ E [ dC^{BS} ] = 0 $$ Utilizando este hecho, y la expresión para el cambio en el precio de mercado de la opción, y las suposiciones de GVV, llegamos a la siguiente expresión: \begin{equation} \boxed{ \frac{1}{2} \Gamma^{BS} S^2 ( \sigma^2 - \Sigma^2) + \frac{1}{2} vo^{BS} \Sigma^2 \eta^2 + va^{BS} S \Sigma \eta\sigma \rho = 0 } \end{equation} Básicamente, este es el modelo Gamma-Vanna-Volga. Básicamente dice que el theta de una opción se equilibra con sus costos de gamma, volga y vanna en dólares.
Entonces, ¿cómo usar este modelo? Primero, necesitamos encontrar los tres parámetros: la volatilidad instantánea $\sigma$, la volatilidad de las volatilidades implícitas $\eta$, y la correlación $\rho$. Es claro que dadas tres opciones cotizadas (preferiblemente dos en las alas y una cerca del ATM), es posible deducir estos tres parámetros/variables. Una vez calibradas estas tres cantidades, entonces todas las demás volatilidades implícitas pueden resolverse mediante la ecuación no lineal de GVV, por ejemplo, utilizando el método de bisección.
Ahora, volviendo a lo que dije sobre las suposiciones, en particular la suposición de que todas las volatilidades implícitas son martingalas locales. Tomemos específicamente la volatilidad implícita del vanna cero $\Sigma_{d_2}$. Esa es la huelga y la implícita donde el vanna y el volga de una opción son cero. Bajo la suposición 1, esto conduciría a $$ \Sigma_{d_2} = \sigma $$ independientemente de la madurez. Esto no puede ser cierto. Lo que hizo Peter Carr fue "generalizar" el marco GVV para no asumir volatilidades implícitas sin deriva.
En cualquier caso, personalmente creo que el modelo GVV es un buen modelo, y si está dispuesto a pasar por alto sus inconsistencias y/o limitaciones, no dude en usarlo. Dicho esto, un poco de autopromoción:
Échele un vistazo también a mi documento It Takes Three to Smile. Aunque no fue mi objetivo principal, en ese documento doy un método alternativo de interpolación y extrapolación de la sonrisa que también solo requiere tres opciones. La diferencia entre mi método y GVV es que hago suposiciones mínimas (en realidad ninguna suposición) sobre la dinámica de las volatilidades implícitas. Sin embargo, asumo que la sonrisa es generada por un modelo puro de volatilidad estocástica, mientras que GVV también permite modelos locales de volatilidad estocástica.
¡Espero que lo anterior ayude!
